Cours Produit Scalaire

Orthogonalité Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition

{τ }=  r  MP P UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 5 2 - Torseur Considérons une base orthonormée directe ( x , y , z ) . r r r r Notons S = X x + Y y + Z z r r r et r r r r M P = LP x + M P y + N P z X, Y, Z, LP, MP et NP sont les coordonnées scalaires en P dans (x , y , z ) r r r du torseur {τ } on note :  X {τ }=  Y  Z P LP   MP N P  (xr , yr , zr ) UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 6 2 - Torseur 2.3. Changement de centre de réduction Connaissant les éléments de réduction du torseur

AD . 4 4 D’où G = J. www.annabac.com © H A T I E R 2009 • Soit M un point du plan. On a d’une part MA – MC = CA . D’autre part, 2MA + MB + MD = 4MJ car J est le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . Attention, le produit scalaire de deux vecL’égalité (1) teurs est un nombre ( 2MA + MB + MD ) . ( MA – MC ) = 0 (1) réel et pas un vecteur. est donc équivalente à 4MJ . CA = 0 . Par conséquent, l’ensemble des points M vérifiant l’égalité (1) est la droite perpendiculaire à

vecteurs On note v et w deux vecteurs. – u:[a,b,c] : Définit les coordonnées du vecteur u. – u+v : Renvoie les coordonnées de u + v – u . v : Renvoie le produit scalaire de u et de v ( le point est précédé et suivi d'un espace ) Le package load(vect) permet de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. – express(u~v) : Renvoie le produit vectoriel de u et v. Gestion des listes – first[a,b,c,d] : Renvoie le premier terme de la liste, donc a. – second[a,b,c,d] : Renvoie le deuxième terme

02 – vecteur directeur d’une droite : 1. Définition : Une droite (D) est donnée et A et B sont deux point distincts de (D). Le vecteur u = AB est un vecteur directeur de la droite (D). Remarque : Un vecteur directeur n’est jamais nul Autrement dit, le vecteur nul n’est le vecteur directeur d’aucune droite. 2. Propriété : (D) et (D’) sont deux droites, u est un vecteur directeur de la droite (D) et u’ est une vecteur directeur de la droite (D’). Alors : (D) et (D’) sont parallèles

poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p ( ) de terme général ( xi  ( x1 x1 ) ( x1

calculatrices . . . sont interdits. Aucun brouillon ne sera corrig´. e Toutes les r´ponses devront ˆtre justifi´es et r´dig´es avec soin. e e e e e Le barˆme est donn´ ` titre indicatif, il reste susceptible d’ˆtre modifi´. e e a e e Question de cours (8 points) 1. Soit E un espace vectoriel et e1 , ..., ep p vecteurs de E. (a) D´finir le rang de la famille (e1 , ..., ep ). e (b) Donner une autre caract´risation du rang. e 2. Soient E et F des espaces vectoriels et u : E −→ F . (a) Quand dit-on

Mathématiques pour la biomécanique Rappel sur la notation des vecteurs La différence entre un scalaire et un vecteur est le fait que pour un vecteur, on a besoin de plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé

admet une Vz tg au point (xy,f(x0)) de vecteur directeur u OJ f est dérivable en xo et f '(x0) = 0 Cf admet une Vi tg verticale au point (x0,f(x())). Cf admet une '/2 tg horizontale à droite (à gauche) du point (x0,f(x0)), _.-— Année Scalaire : : 3

PRODUIT SCALAIRE ® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 70°. Problème : calculer BC. On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient