Cours Produit Scalaire

LE PRODUIT SCALAIRE 1. Ensemble de points M Cas général : si forme . , l’ensemble des points M tels que . est un cercle ou Ex. A (0 ; 0) . B (1 ; 0) ; 1 k=2 M (x ; y) forme canonique : or on veut ² . ² 2 On a bien un cercle de Centre Ω ² 2 ; 0 et de Rayon 2. Ensemble de pts M Cas général : 0 alors on a une droite médiatrice de 2 Ex. 3 points A, B et C On cherche , Ensemble des points M tels que : Premier cas : lorsque les coefficients

l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vn à un instant k < n (i.e. sachant Fk ) ? Solution : < ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd . 1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 . Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après

. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc . La fonction est continue sur et pour tout de . Donc pour tout entier naturel non nul , soit . b. Étudier les variations de la suite (In). Pour tout de donc par produit par puis . La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc , soit . Les fonctions et sont continues sur et pour tout de donc . La suite est décroissante et minorée par . c. En déduire que la suite (In) est convergente

MATH-CHAPITRE 11: Distances & Lieux 1. Inégalité Triangulaire et Position Relative de 2 cercles 1.1 Inégalité Triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté -plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés -plus grande que la différence positive des deux autres côtés exemple: 7 2 3 7 >2+3 2 TANGENTS EXTÉRIEURS 01 02 = r1 – r2 ---> TANGENTS INTÉRIEURS 01 02 > r1 + r2 ---> DISJOINTS EXTÉRIEURS 01 02 < r1 – r2 ---> DISJOINTS INTÉRIEURS 01 02 = 0 ---> CONCENTRIQUES

Analyse vectorielle — Étude des champs 2013/2014 CPGE Mathématiques pour la physique ® La norme d’un vecteur est définie par son carré scalaire : → − U → → − − Analyse vectorielle — Étude des champs Note : Selon les normes typographiques actuelles, les grandeurs vectorielles doivent être notées en gras ; → − pour des raisons pédagogiques, elles seront ici notées surmontées d’une flèche : U et non U. On rencontre les deux notations dans les sujets de concours. Les vecteurs

de corps commutatif). Les operations sur les matrices Matlab contient de nombreuses expressions prédéfinies pour la manipulation de matrices. Le caractère spécial (') sert `a désigner la transposée d’un matrice. La commande A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]' produit la matrice A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Les lignes de A' sont les colonnes de A, et vice versa. Si A est une matrice complexe, A' est sa transposée conjuguée, ou transposée hermitienne. Pour obtenir une transposée non conjuguée, il faut employer les

k ≡ 1k mod 17 soit 4. On a 42 = 16 = 3 × 5 + 1 ou 42 ≡ 1 mod 5 d’où il résulte que 42k ≡ 1 mod 5 ou encore 42k − 1 ≡ 0 mod 5. Conclusion : 4n − 1 est divisible par 5 si n est pair. Par contre : de 4 ≡ 4 mod 5 et 42k ≡ 1 mod 5 il résulte par produit que 42k+1 ≡ 4 mod 5. Conclusion : 4n − 1 est divisible par 5 si et seulement si n est pair. 5. Diviseurs premiers de 428 − 1 : la question 2 a déjà donné le nombre 29 ; la question 3 a donné le diviseur premier 17 ; la question 4 a donné le diviseur

coordonnées (xB-xA;yB-yA) » Le vecteur AI a pour coordonnées [0,5-0;√0,75-1] AI [0,5;(√0,75-1)] Le vecteur AL a pour coordonnées [(√0,75+1)-0;0,5-1] AL [(√0,75+1);(-0,5)] AI [0,5;(√0,75-1)] AL [(√0,75+1);(-0,5)] On effectue un produit en croix : 0,5x(-0,5) = -0,25 (√0,75-1)x(√0,75+1) = -0,25 -0,25=-0,25 Leurs coordonnées sont proportionnelles. « Dans un repère si le vecteur U a pour coordonnées (x;y) et le vecteur V(x';y') alors le vecteur U et le vecteur V sont colinéaires

Transformation de l'Espace I translation (rappel) soit un vecteur de l'espace et M un point de l'espace. La translation de vecteur est la translation qui a tout point de l'espace M associe le point M' tel que = II homothésie 1/definition soit O un point de l'espace et k un réel non nul. On appelle homothesie de centre O et de rapport k la transformation qui a tout point M de l'espace associe le point M' tel que =k on note hok ou egalement k(M)=M' exemple transformé de

3-d :  Construction de Dürer 7 3-e :  Les étoiles de Compostelle 8 4.  Conjectures et démonstrations 8 4-a :  Autour de trapèzes (2°) 8 4-b :  Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler (2°) 9 4-c :  Ensemble de points et produit scalaire (1°S) 9 4-d :  Le parallélogramme tournant (2°) 10 5.  Lieux de points 10 5-a :  Avec des barycentres 11 5-b :  Avec des fonctions 11 5-c :  Approche géometrique d’une courbe connue (1°S) 11 5-d :  Approche géometrique d’une courbe