Propriétés :
2
2 u de coordonnées (x;y) a pour longueur ∥ ⃗
(1) Dans un repère orthonormé, un vecteur ⃗ u ∥ =√( x + y ) . u∥= | λ | × ∥⃗ u∥ . u , ∥λ⃗
(2) Pour tout nombre réel λ et tout vecteur ⃗

u =⃗
Démonstration: (1) si ⃗
OM où O est l'origine du repère, alors M a pour coordonnées (x;y)
2
2
2
2 et ∥ ⃗ u ∥ =OM =√( ( x − 0 ) + ( y − 0 ) )=√( x + y ) . u vue en seconde.
(2) cette propriété découle directement de la définition de λ ⃗ u et ⃗ v :
Propriétés : Pour tous vecteurs ⃗
⃗
⃗ u = 0 ou ⃗ v = 0 alors ⃗ u .⃗ v =0 .
(1) si ⃗ u .⃗ v =⃗ v .⃗ u .
(2) ⃗
2
2 u =∥ ⃗ u∥ . u par lui-même, appelé carré scalaire est noté ⃗
(3) le produit scalaire de ⃗ u 2 et ⃗
2
2
1
1
1
2
2
2
(∥ ⃗ u +⃗
0∥ −∥⃗ u ∥ −∥⃗
0 ∥ ) = (∥ ⃗ u∥ −∥⃗ u ∥ )= ×0=0 .
2
2
2
0 .⃗ v = 0. de même, on démontre que ⃗
1
1
2
2
2
2
2
2 u .⃗ v = (∥ ⃗ v .⃗ u (2) ⃗ u +⃗ v ∥ − ∥⃗ u ∥ −∥⃗ v ∥ ) = (∥ ⃗ v +⃗ u ∥ − ∥⃗ v ∥ −∥⃗ u∥ ) = ⃗
2
2
1
2
2
2 u .⃗ u = (∥ ⃗
(3) ⃗ u +⃗ u ∥ −∥⃗ u∥ −∥⃗ u∥ )
2
1
2
2
= (∥ 2 ⃗ u ∥ − 2∥ ⃗ u∥ )
2
1
2
2
= ( 4∥ ⃗ u ∥ − 2∥ ⃗ u∥ )
2
1
2
= ×2∥ ⃗ u∥ 2
=∥ ⃗ u∥2 0 = u .⃗
Démonstration: (1) ⃗

u et ⃗ v sont orthogonaux si et seulement si ⃗ u .⃗ v =0.
Propriété : Deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v orthogonaux
Démonstration: → On suppose ⃗
0 ou ⃗
0 alors ⃗ u =⃗ v =⃗ u .⃗ v =0
– Si ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ v = BC ≠ 0
– Si ⃗ u = AB≠ 0 et ⃗
2
2
1
1
2
BC = (∥ ⃗ u .⃗ v = ⃗
AB+ ⃗
BC ∥ − ∥ ⃗
AB∥ − ∥ BC ∥ ) = ( AC 2− AB2− BC 2)
Alors ⃗
AB . ⃗
2
2
2
2
2
Or d'après le théorème de Pythagore: AB + BC = AC
1
u .⃗ v = ×0 =0
D'où ⃗
2
u .⃗ v =0
→ On suppose ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires
– Si ⃗ u et ⃗ v sont orthogonaux.
Alors l'un d'entre eux est nul, donc ⃗
⃗
⃗ v = BC ne sont pas colinéaires
– Si ⃗ u = AB et ⃗ u .⃗ v =0
Alors ⃗
BC = 0
⇔ ⃗
AB . ⃗
1( ⃗ ⃗ 2 ⃗ 2
2
∥ AB+ BC ∥ − ∥ AB∥ − ∥ BC ∥ ) = 0
⇔
2
1
( AC 2− AB 2− BC 2 ) = 0
⇔
2
⇔
AC 2 =AB 2+ BC 2
Or d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B
Donc ( AB ) ⊥ ( BC ) u et ⃗ v sont orthogonaux.
Donc ⃗

u , ⃗ v , ⃗ w et tout nombre réel λ :
Propriétés : Pour