3i

(aeibx +bieibx ) = cecx . En déduire la valeur de Z ⇡ R x sin x Ainsi, la formule ecx dx = 1c ecx reste valable pour des c 2 C, et ceci nous permet de dx. 1 + cos2 x 0 calculer de nouvelles R 2c primitives. R (2+3i)x 1 Par exemple e cos(3x)dx est la partie réelle de e dx, qui est 2+3i e(2+3i)x + C. Exercice 4 Nous trouvons ainsi la primitive en calculant la partie réelle, qui vaut Soient f et g deux fonctions réelles périodiques de période T continues sur R. On e2x appelle produit de convolution de

puis construire le point B ′ = f (B). 2. (a) Donner l’´criture complexe de l’homoth´tie h de centre A et de rapport e e 3. (a) Soit M0 le point d’affixe 2 − 4i. √ 2. (b) Montrer que la compos´e g = f ◦ h a pour ´criture complexe z ′′ = (1 + i) z − 1 + 3i. e e − − ′′ −→ − − → ′′ Determiner l’affixe du point M0 = g (M0 ) puis v´rifier que les vecteurs AB et AM0 sont orthoe gonaux. (b) On consid`re un point M d’affixe z. On suppose que la partie r´elle x et la partie imaginaire y e e de z sont des entiers

" ll ::t l-: i- ; i ; -1. * IÂ*o+âl-,=o =i Êg.l:. ',1Ëi 'âô,1 a X "ir-i :iFË.]Ï k i:Ê; IiE+ij s'=gi:riFïË:,: I s =;?Ê I:g;r;51: s li i*,lia: ËËi îl:if î iT;j ; tr f r;eriâi;Ëij g l5 =ù 1*€i='"7\l< iâ_ :Ë =.J E 3i- k l3 ri

complexe de r n PARTIE A (.'si : /. ' ( >n .1 I' r , soit a = ^— l+i (l-i- . < CM .Vdire z' = iz. \,i , doiu li = r (A) , ce qui signifie que le triangle OAB est un irianj>lf isoiflf rciiangle en O tel que (ÔA ; OB) = - . H. OC(1 + i) = 1 + 3i équivaut à a = c'est-à-dire a = 2 * 2. Soii / / l ' . i l ï i x c du point D. 7 t . , - , donc d . \c. .. . '.! , OC = Ol) et (ÔC", ÔD) = - il ; a = 2 + i. 2 2 en n'-Milu- qui- I ) est l'image de C par la rotation r de centre O et d'angle

INSA 3i` eme ann´ ee - MIC Langage C Examen Examen langage C Janvier 2010 1 Exercice 1 (10 points) Le but de cet exercice est d’impl´ementer des listes lin´eaires. Dans une liste lin´eaire, l’insertion et la suppression d’´el´ement peut se faire n’importe o` u (contrairement aux files et aux piles). Une liste lin´eaire peut ˆetre repr´esent´ee par une structure de donn´ees compos´ee de (cf figure 1) : – un pointeur sur le premier ´el´ement de la liste ; – un pointeur sur le dernier ´el´ement

z2 C) Le produit Definition: Soient z=x+iy et z'=x+iy' Le produit de z avec z' est defini par zz'= (xx'-yy')+(xy'+yx')i Proposition: Soit z= x+iy Prenons Propriétés : 1) Les nombres complexes Page 1 2) 3) 4) 5) Exemples: 1) 2) 3) 4) 5) z=1+3i z=1-i z=1+i z=1+2i i²= -1 z'=2-5i z'=-2i = z+z'= zz'= = i3=-i i4=1 i5=i i6=-1 3) Module, argument, exponentielle complexe. Definition : Soit z= x+iy On appelle module de z le nombre reel positif noté Nous avons Lorsque (Im(z)=0) est la valeur absolue

b. On considère les points J et K d’affixes respectives zJ = 2 et zK = −4. Démontrer que tous les points M du cercle (C ) de centre J et de rayon 2 ont leur image M’ sur un même cercle que l’on déterminera. c. Soit E le point d’affixe zE = −4 − 3i. Donner la forme trigonométrique de (zE + 4) et à l’aide du 3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points. EXERCICE 4 : non spécialistes (5 points) On considère

\sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1} Puisque \sqrt{-1} est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a : x = 3i De façon plus générale, pour x2 = a et avec a &lt; 0, on a x = \sqrt{|a|} \times i. Dérivée [modifier]La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine impaire, et donc une fonction linéaire. Elle est donc positive sur \mathbb{R}^+

nR}A fY ‹šcx 𠺍fxØ Ð ŠeTÌí ºpUnH}UÐ îØÌí ºpinYúÐ ŒYË øÎ ºpehdH Ò}]Rí ºy@ÐÚ ŠbL oAnÉ Œx{UÐ Ð|w ‹g`d= Œ, b= 5R ºnw}RnTí nged—Y ºngdT nhi{UÐ ÓÊn\šHÐí ºNCn_UÐ DL ˆ"Ðí : = Ð ‹gd\R nY …Y Ð|w ºî{gdU nLn˜>Ðí ºˆ"Ð DL nÉ}A ÜnfUÐ ð ð ‹ghR Œcx 3í ºŒx{UÐ éŽÉÌ ŒY ŠÉÌ : Ð{=Ì ÐŽadš¶ 3 º‹hbš—CÐ ð Š]_Y øí ºéíkY øí º@ÚnB øí ºïÚ{S ø ºŒx{UÐ : â{š˜Y À àÐWUÐí ºÊn\h˜UÐ pœCÐ DL ì{_= ŒY =nÉÌ ŠKí ºhUÎ Ð ìnRŽ> Œw|UÐ ÊnaÉí ‹gaUРҎS ö Ð éŽHÚ †d= nCí âí}aUÐ : æ šBøÐ ‚_= ‹gfh= …Sí iÌ …Y Ð|w

= (z = 0). z z Exemples : 8−i 2+i (2 + i)(3 − 2i) 6 − 4i + 3i − 2i2 = • = = 3 + 2i (3 + 2i)(3 − 2i) 32 + 22 13 1 + iz • Résolution de l’équation = −1 + 3i : z Pour z = 0, on obtient : 1 + iz = (−1 + 3i)z ⇔ 1 = (−1 + 2i)z ⇔ z = • Résolution de l’équation (1 + i)z = z − 2 + 3i : En posant z = x + iy (x et y réels), on a : 1 −1 − 2i −1 − 2i = = 2 . −1 + 2i 1 + 22 5 (1 + i)(x + iy) = x − iy − 2 + 3i ⇔ (x − y) + i(x + y) = (x − 2) + i(−y + 3) ⇔ D’où, z = −1 + 2i.