Kit de survie - Bac S
1.
a)

Inégalités - Étude du signe d’une expression
Opérations sur les inégalités

Règles usuelles :
Pour tout a
Pour tout k > 0 :
Pour tout k < 0 :
Pour x et y de même signe :
Pour x > 0 et y > 0 :
Pour x > 0 et y > 0 :
Si f croissante * :

x 1 :
√
√
√
1
1
0 < x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x (car x > 0) ⇒ √
>
x x2 − 1
• Sachant que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour

Rappels :
• On peut toujours ajouter membre à membre deux inégalités.
• On peut multiplier membre à membre deux inégalités si tous les termes sont positifs.
• On ne peut pas soustraire ou diviser membre à membre deux inégalités.
Encadrement de x − y :
• On détermine d’abord un encadrement de −y, puis on effectue la somme membre à membre avec celui de
x.
−2 < x < 3
−2 < x < 3
Exemple :
⇒
⇒ −1 < x − y < 7.
−4 < y < −1
1 < −y < 4

x
: (les bornes de l’encadrement de x étant de même signe - idem pour y) y 1
• On détermine d’abord un encadrement de , puis il faut s’arranger pour multiplier membre à membre deux y encadrements dont tous les termes sont positifs.

 8 0, ln

e)

Signe de ln x et de ex

• Signe de ln x :
Si 0 < x < 1 alors ln x est strictement négatif

;

Si x > 1 alors ln x est strictement positif

;

ln 1 = 0.

• Signe de ex : pour tout réel x, ex est strictement positif.

TS

P.Brachet - http://www.xm1math.net

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f)

Équations et inéquations

• Si a > 0 et b > 0 : ln a = ln b ⇔ a = b ;
• ea = eb ⇔ a = b

ln a < ln b ⇔ a < b

ea < eb ⇔ a < b

; a • ln x = a ⇔ x = e

;

;

ea

ln x < a ⇔ 0 < x < e

• Si a > 0 : ex = a ⇔ x = ln a

;

ln b ⇔ a

ln a

; a eb ⇔ a
;

b

b

ln x > a ⇔ x > ea

ex < a ⇔ x < ln a

;

ex > a ⇔ x > ln a

Remarque :
Pour les équations et inéquations avec logarithme, ne pas oublier de commencer par définir les conditions d’existence (les expressions contenues dans un logarithme doivent être strictement