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Utiliser le principe d’induction pour montrer que an ≤ 2n ∀n ≥ 1. 13. Montrer que chaque entier n ≥ 2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un entier p est dit premier si les seuls diviseurs de p sont 1 et p). 14. Montrer que n 2 i=1 (3i n2 (n + 1)2 . 4 − i) = n2 (n + 1) pour tout entier n ≥ 1. 1 

du cercle de diamètre [AB] et de la droite perpendiculaire à (AB) passant par O. Voir figure ci-contre. √– 1 = i B 3 G La notion de vecteur. O A Partie C 1 G B C A v O u 2 G a. (2 + 3i) + (– 5 + 2i) = 2 – 5 + (3 + 2) i = – 3 + 5i. b. (2 + 3i) (– 5 + 2i) = – 10 – 15i + 4i – 6 = – 16 – 11i. 2 Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes 1 G a. On peut mesurer la distance à la ville d’Auckland et mesurer l’angle par rapport à l’équateur. b. 2,7

Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 2.4. Définition Soit Z Î , Z = a + ib (avec a et b réels). Le réel a s’appelle la partie réelle de Z et b la partie imaginaire. On note : Exemples : On a : a = Re(Z) et b = Im(Z) Z1 = 3 + 2i ; Z2 = – 3i Re(Z1) = 3 ; Im(Z1) = 2 ; Re(Z2) = 0 ; Im(Z2) = -3 Humour : pourquoi la vie des Hommes est-elle complexe ? Car elle possède une partie réelle et une partie imaginaire. Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel ! 2

Exercices - Nombres complexes : corrigé Equations et racines n-ièmes Exercice 12 - Exponentielle - L1/Math Sup √ Posons z = a + ib, a, b ∈ R. Alors ez = ea eib . Ceci nous incite à mettre 3 3 − 3i sous forme trigonométrique. On obtient √ √ |3 3 − 3i| = 27 + 9 = 6. Il vient √ √ 3 1 −i 2 2 = 6e−iπ/6 . 3 3 − 3i = 6 On obtient alors exp a = 6 et b = −iπ/6 + 2kπ, k ∈ Z. Les solutions de l’équation sont donc les nombres complexes ln(6) + i π + 2kπ , k ∈ Z. 6 Exercice 13 - Racine carrée d’un nombre

3 b. L’image du point C par la rotation R a une affixe égale à : ei 3 1 (2i) = − 3 − i = zE (2i) = − + i 2 2 4. On a BE = |zE − zB | = | − 3 − i − 3 + i| = |2 3| = 2 3 ; BC = |zC − zB | = |2i − 3 + i| = | − 3 + 3i| = 3 + 9 = 12 = 2 3 ; CE = |zE − zC | = | − 3 − i − 2i| = | − 3 − 3i| = 3 + 9 = 12 = 2 3 ; On a donc BE = BC = CE : le triangle BEC est équilatéral. On aurait pu également dire que les triangles OBC, OCE et OEB sont des 2π : ils triangles isocèles (côtés de longueurs 2) avec un angle

M d’affixe z = x + iy vérifiant |z – 1 + i| = |3 – 4i| a pour équation : a. y = −x + 1 b. (x – 1)² + y² = 5 c. z = 1 – i + 5 eiθ avec θ réel. 7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec (AB ; AC ) = π/2 est : a. 1 – 4i b. −3i c. 7 + 4i 8. L’ensemble des solutions dans C de l’équation I a. {1 – i} z-2 = z est : z-1 b. l’ensemble vide → → c. {1 – i ; 1 + i} EXERCICE 4. Amérique du nord, juin 2007. 5 points. Un joueur

aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité → → − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C , M, N et P d’affixes respectives : a = 1 + i, b = −1 + 2i, c = 2 + 3i, m = 7 − 5i, n = 5 − i, p = 9 + i. 1. a. Placer les points A, B, C , M, N et P dans le repère. b. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et N MP . Centres étrangers 2 14 juin 2010 Baccalauréat S A. P. M. E. P. c. En déduire

av1 + bv2 + cv3 = v. Il s’agit donc de résoudre le système :   a − b + ic = 1 + i −a + ib + c = 1 − i   ia + b − c = i On trouve a = 0, b = 12 (1 − i), c = 21 (1 − 3i). Nous avons donc v = 12 (1 − i)v2 + 21 (1 − 3i)v3 et ainsi les coordonnées de v dans la base (v1 , v2 , v3 ) sont (0, 21 (1 − i), 12 (1 − 3i)). Correction de l’exercice 5 6 1. Tout d’abord la famille {P0 , P1 , P2 , . . . , Pn } contient n + 1 vecteurs dans l’espace E = Rn [X] de dimension n + 1. Ici un vecteur

participation dans les organes de décision des grandes entreprises espagnoles, à une teneur(ténor) des opinions de Rosa Marie García; Anne Muñoz, une conseillère indépendante de Natra, d'Edival et Libertas7 et Maite Ballester, une conseillère déléguée d'une 3i et conseillère exécutive dans une douzaine de compagnies annoncées par la société de capital-risque. La première requête qui doit être exigée à une administratrice consiste en ce qu'il(elle) a dégagé des postes(places) de direction maximale dans