3i

+ e– ix 3 1 cos 3 x = ⎛ --------------------- ⎞ = -- ( e 3i x + 3e 2i x e – i x + 3e i x e – 2i x + e – 3i x ) ⎝ ⎠ 2 8 1 = -- ( e 3i x + 3e i x + 3e – i x + e – 3i x ) 8 D’où : 1 1 3 cos 3 x = -- ( 2 cos 3 x + 6 cos x ) = -- cos 3 x + -- cos x . 8 4 4 De la même façon, nous avons : eix – e– ix 3 eix + e– ix 2 sin 3 x cos 2 x = ⎛ --------------------- ⎞ ⎛ --------------------- ⎞ ⎝ ⎠ 2i ⎠ ⎝ 2 1 = – ------ ( e 3i x – 3e i x + 3e – i x – e – 3i x ) ( e 2i x + 2 + e – 2i x ) 32i 118 Séquence 3-MA09

+ 3 × 1 23 10 6 10 4 4) P(1 ≤ X ≤ 3) = ∫ λe−λt dt =  −e −λt  = e−λ − e−3λ .   1 1 3 3 Exercice 4 : (ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE) 1)a) α 2 − 4α = 1 + i 3 ( ) − 4 (1 + i 3 ) = 1 − 3 − 4 + i ( 2 2α − 8 = 2 (1 − i 3 ) − 8 = −6 − 2 3i 2 3 − 4 3 = −6 − 2 3i ) b) α = α = 2 Les points B et C sont donc sur le cercle de centre O et de rayon 2 (qui passe par A). 2) a) La construction se fait AU COMPAS. Le triangle ODE est équilatéral direct. b) D’après l’expression complexe des rotations

résultante des pressions hydrodynamiques horizontales d’impulsion est donnée par la formule. P3i = a m . Mi P3i = 1,50 x 266,40.103 = 399,60.103 Kg/ml P’3i = P3i / (( . R) = 399,60.103 / (( . 9,25) = 13,75 Kg/ml Et hi = (3/8) . h = (3/8) x 3,95 = 1,48 m P’3iP’3ohihoPtht La distribution des forces sismiques sur le mur est : Pt = P’3i + P’3o = 13,75.103 + 8,14.103 = 21,89.103 Kg = 219 KN ht = ( Pj.hj / ( Pj = 13,75 x 1,48 + 8,14 x 2,08 / 21,90 = 1,70 m Comme la rigidité du mur est

S⊂S Remarques 1.2: i. µS est l’image de µT par l’application πS , veut dire ∀A ∈ B S on a: not déf −1 µS (A) = µT πS (A) = µT (πS ∈ A) . 2i. µT est unique. C’est une probabilité sur E T , B T si toutes les µS sont des probabilités sur E S , B S . 3i. Dans le cas fini, la mesure n’est autre que la mesure produit habituelle. Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Définition 1.5 La mesure µT (quand elle existe), telle que ∀S ∈ ST on ait µS est l’image de µT par l’application

de mois fprintf(' \n\n') fprintf('Calcul avec la fonction récursive\n\n') tic; for i=0:n res=Pisanor(i); fprintf('pour mois=%3i, le nombre de paires de lapereaux est %3i \n',i,res) end toc; % % fprintf(' \n\n') fprintf('Calcul avec la fonction itérative\n\n') tic; for j=0:n res=Pisanoi(j); fprintf('pour mois=%3i, le nombre de paires de lapereaux est %3i \n',j,res) end toc; Adolfo Foriero, ing., Ph.D. 17 >> comPisano Calcul avec la fonction récursive pour mois= 0, le nombre

facilement que |c| = 2, d’où c = 2 2 cos − π + i sin − π 6 6 π = = 2e−i 6 . π π π D’où c3 = 2e−i 6 = 23 e−3i 6 = 8e−i 2 = −8i. Donc b et c sont solution de l’équation (E ′ ). 5. a. Représentation des points A, B, C. 2 A 1 0 -2 −2 + + 3 1 -1 −1 -1 −1 0 O 1 1 + 2 C B -2 −2 √ √ b. AB = |zB − zA | = − 3 − 3i = 2 3 ; √ √ AC = |zC − zA | = 3 − 3i = 2 3 ; √ √ BC = |zC − zB | = 2 3 = 2 3. Par la rotation r : – l’image de A est B ; – l’image de B est C ; √ √ √ 3 1 2iπ

EXERCICE 1 1. 2   1  4  1  3i   5  12i . Soit  une racine carrée de  et  x, y   2 tel que   x  iy donc tel que  x  iy   5  12i . De plus   25  144  13  x2  y2  5 2 x2  18  x  3 x  3  x  3    2 . Donc 3  2i et 3  2i sont les racines carrées de .     2 xy  12   xy  6   xy  6   ou  y  2  y  2  2  2  y  2 2   x  y  13 2 y  8 On considère   3  2i . Les solutions de l’équation z2  z  1  3i  0 sont alors : 1   3  2i

2.1 Diff´rentes ´critures des nombres complexes e e ´criture cart´sienne ou alg´brique e e e Si z ∈ C, z s’´crit de fa¸on unique z = a + ib. a = Re(z) est la partie r´elle de z et b = Im(z) sa e c e partie imaginaire. Exercice 1 Calculer (2 + 3i)(4 − i), (2 + i)2 , (3 + 4i)(3 − 4i) et (2i)2 . R´p. e 11 + 10i 3 + 4i 25 −4 C peut ˆtre consid´r´ comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R dont une base est {1, i} e e e 1 voir 2 voir m´thode dans l’exercice 1 du TD1 e TD1, exercice 2 3 voir

poser λn = µn (1 + · · · + λn−1 ). Equations et racines n-ièmes Exercice 9 - Exponentielle - L1/Math Sup √ Posons z = a + ib, a, b ∈ R. Alors ez = ea eib . Ceci nous incite à mettre 3 3 − 3i sous forme trigonométrique. On obtient √ √ |3 3 − 3i| = 27 + 9 = 6. Il vient √ √ 1 3 −i 2 2 = 6e−iπ/6 . 3 3 − 3i = 6 On obtient alors a = 6 et b = −iπ/6 + 2kπ, k ∈ Z. Les solutions de l’équation sont donc les nombres complexes 6 + i π + 2kπ , k ∈ Z. 6 Exercice 10 - Racine carrée d’un nombre complexe

) ( PVA j ) VA j Leontief CI j ( PM AUi ) M AUi ( PXS j ) CES M TUi (1  t dUSi ) eUS PWM USi (1  tmti )(1  tmci ) XS j D j1 D j 2  D j n ( PXS j ) D1i D2i  D Ji ( PX i ) X i (1  t mti )(1  t mci ) ( PM RM 3i ) M RM 3i CES M USi (1  t dPAi ) ePA PWM PAi (1  tmti )(1  tmci ) ( PM RM 2i ) M RM 2i CES M PAi (1  t dUEi ) eUE PWM UEi (1  tmti )(1  tmci ) (P ) X i CET m Xi ( PM RM 1i ) M RM 1i CES M UEi Ei CET ( PE i )