Triangle Houssaye

angles droits Lionel est déçu. Expliquer pourquoi. 3/4 Exercice 6 : ( 4 points : 2 + 0,5 + 1,5) Sur la figure ci-contre, les points A, B et E sont alignés, et C le milieu de [BD]. 1) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 2) En déduire la nature du triangle BDE. 3) Calculer ED. Arrondir le résultat au dixième. Exercice 7 : ( 5,5 points : 1,5 + 1 + 1 + 2 ) En se retournant lors d’une marche arrière, le conducteur d’une camionnette voit le sol à 6mètres derrière son camion

⃗ ⃗ v = BC ne sont pas colinéaires – Si ⃗ u = AB et ⃗ u .⃗ v =0 Alors ⃗ BC = 0 ⇔ ⃗ AB . ⃗ 1( ⃗ ⃗ 2 ⃗ 2 2 ∥ AB+ BC ∥ − ∥ AB∥ − ∥ BC ∥ ) = 0 ⇔ 2 1 ( AC 2− AB 2− BC 2 ) = 0 ⇔ 2 ⇔ AC 2 =AB 2+ BC 2 Or d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B Donc ( AB ) ⊥ ( BC ) u et ⃗ v sont orthogonaux. Donc ⃗ u , ⃗ v , ⃗ w et tout nombre réel λ : Propriétés : Pour tout vecteur ⃗ u +⃗ v ). ⃗ w =⃗ u .⃗ w +⃗ v .⃗ w (1) ( ⃗ u .( ⃗ v +⃗ w )= ⃗ u .⃗ v +⃗ u .⃗ w (2) ⃗ u ). ⃗ v =⃗

elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n’enlève aucun point. 1. La figure ci-contre représente trois carrés construits sur les trois côtés d’un triangle rectangle. Dans chacun des carrés est indiquée son aire. Affirmation 1 : La construction à l’échelle de cette figure est possible. 32 cm2 64 cm2 100 cm2 2. Affirmation 2 : Si un nombre est multiple de 6 et de 9, alors il est aussi multiple de

Notions de bases 6 2.2 Triangle pour calcul des fonctions trigonométriques 30° - 45° - 60° 6 2.3 Fonction trigonométrique 7 2.4 Identités inverses 7 2.5 Les identités de la tangente et de la cotangente 7 2.6 Les identités pythagoriciennes 7 2.7 Fonction et formules trigonométrique 7 2.8 Valeur particulière de fonction trigonométriques 8 2.9 Transformations trigonométriques 9 2.10 Théorème du sinus 9 2.11 Théorème du cosinus 9 2.12 Calcul de l’aire d’un triangle quelconque 9 3. Vecteurs

chaque angle, on associe 4 grandeurs appelées nombres trigonométriques : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Remarque Les définitions suivantes constituent une extension du sinus, cosinus et de la tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle. 1.3.1 Définitions Considérons l’angle orienté α et son point image P . On note P et P les projections orthogonales de P sur OI et OJ. • Le cosinus de l’angle orienté α est l’abscisse de son point image dans le cercle trigonométrique

pour le triangle ACD , car celui-ci est équilatéral, donc la droite qui passe par le milieu d'un côté et le sommet opposé est une médiatrice (aussi médiane, bissectrice et hauteur). 2. Le triangle AJC est rectangle en J , on a AC=4 et 4 CJ= =2 , donc d'après le théorème de Pythagore, on a 2 AC 2=AJ 2+JC2 Donc AJ 2=AC 2−JC 2=42−22=16−4=12 , donc AJ= √ 12=2 √ 3 3. La nature du triangle AJB est isocèle en J , car on montrerai, comme à la question précédente que BJ=2 √ 3 . 4. Donc Le triangle AIJ est

Calculons B pour x = dans l’expression factorisée : 4 1 1 1 1 Pour x = , B = 2 (3 × – 5) (4 × – 1) = 2 (3 × – 5) × 0 = 0. 4 4 4 4 Pour x = 1 on a donc B = 0. 4 2ème partie : Activités géométriques 12 points Exercice 1 : 8 points 1. On considère les triangles AEB et EDC : On compare les quotients , et : , = et = .Considérons leurs produits en croix 5,4 × 12 = 64,8 et 9 × 7,2= 64,8. Leurs produits en croix sont égaux donc les quotients sont égaux. On a les points E, B et D alignés ainsi que les points

 Dispositif autour de l’apprentissage du raisonnement déductif : Consigne : Un cercle de centre O étant donné, on cherche à l’inscrire dans un triangle ABC dont les angles mesurent Â=80°, B=60° et C=40°. Comment construire ce triangle ABC ? Décrire le programme de construction en justifiant à l’aide de propriétés. Vous pouvez vous aider du logiciel Geogebra dans votre démarche, mais le tracé sur la feuille ci-contre est exigé. Figure : _ Analyse à priori :

On a : AB2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 = (9 – (- 1))2 + ((- 2) – 0)2 = 102 + (- 2)2 = 100 + 4 = 104 D’où : AB = √104. De la même manière, on a : BC = √72 et AC = √32. On a : AB2 = BC2 + AC2 = 104. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 2) On a : (xB – xA ; yB – yA), soit (10 ; - 2). De plus : (xD – xC ; yD – yC), soit (10 ; - 2). Donc : = . ABDC est un parallélogramme. 3) On a : AE2 = (xE – xA)2 + (yE – yA)2 = ((- 5) – (- 1))2 + (4 – 0)2 = (- 4)2 + 42

L On pose AL = x (en cm) et on place [DA] un point P tel que DP = x cm On construit alors le triangle LCP Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel On appelle f la fonction qui à tout x de [0;10]associe l'aire du triangle LCP 1-a) Exprimer en fonction de x les longueurs de segments AL , Bl , DP puis AP b) Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP , LBC et CDP c) En déduire que f(x) = 1/2(x-5)2+75/2 2-a) Justifier que pour tout x