Théorème des valeurs intermédiaires

f : I → R et g : I → R deux fonctions continues telles que Exercice 16 [ 00240 ] [correction] Etudier la continuité de la fonction xn n∈N n! f : x → sup ∀x ∈ I, |f (x)| = |g(x)| = 0 Montrer que f = g ou f = −g. définie sur R+ . Théorème des valeurs intérmédiaires Exercice 24 [ 01809 ] [correction] Soit f : [0, +∞[ → R continue. On suppose que |f | −−→ +∞. Montrer que +∞ f −−→ +∞ ou f −−→ −∞. +∞ Exercice 17 [ 01803 ] [correction] Soit f : R → R continue telle que lim f = −1 et lim f = 1. Montrer

: - son amplitude A - sa fréquence f - sa phase θ Le signal sinusoïdal s’écrit de la manière suivante : - en temporel : v (t ) = A sin( 2π ft + θ ) en fréquentiel : V(f)=A/2ejθ, V(kf)=0, ∀ k ∈ Ν , k ≥ 2 Cours LAUNAY Frédéric 7 Théorème 1.Modulation Analogique sur une porteuse sinusoïdale La modulation analogique sur une porteuse sinusoïdale consiste à modifier une ou plusieurs caractéristiques du signal sinusoïdal par le signal analogique à transmettre. Applications En règle

: - son amplitude A - sa fréquence f - sa phase θ Le signal sinusoïdal s’écrit de la manière suivante : - en temporel : v (t ) = A sin( 2π ft + θ ) en fréquentiel : V(f)=A/2ejθ, V(kf)=0, ∀ k ∈ Ν , k ≥ 2 Cours LAUNAY Frédéric 7 Théorème 1.Modulation Analogique sur une porteuse sinusoïdale La modulation analogique sur une porteuse sinusoïdale consiste à modifier une ou plusieurs caractéristiques du signal sinusoïdal par le signal analogique à transmettre. Applications En règle

interdits. Il est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction. Question de cours (6 points) 1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. 2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis Correction de la question de cours 1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. 2. Soit un intervalle de . Pour tout , avec , pour tout entre

Bijection Théorème 2 dit de la « bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B]. Démonstration Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur [a, b]. Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b). D’après le théorème des valeurs

pour que f (x) soit à distance ε de l, il sut que x soit susamment voisin de a. Toutefois, il faut faire attention : cette formulation dissimule l'idée importante de la dénition à savoir que le voisinage en question dépend de ε. x→a Théorème 1. x→a Unicité de la limite Soient f : I → R une fonction et soit l et l′ deux réels. On suppose que lim f (x) = l et lim f (x) = l′ . Alors l = l′ . x→a Remarque 1. La limite en un réel a est unique mais elle n'est pas forcément

de Donc , est équivalente à l’équation : Déterminer graphiquement un encadrement de la solution de par deux entiers consécutifs (on utilisera les représentations graphiques des fonctions et ). Limite de en D’où 3. Déterminer la valeur exacte de (on pourra ). Donc utiliser un changement de variable dans l’équation ou partir de l’équation 4. Résoudre dans . l’inéquation TS 2010.2011 –DAO1.CORRIGÉ Page 1 sur 14 fichier DAO.01 b) i) est dérivable sur de :

nécessaire pour produire une unité de produit dans une autre branche [pic]. 2. Expliciter les valeurs ajoutées de chaque branche, les productions nettes et le PIB. 3. Calculer la demande nécessaire pour absorber une production de 100 millions d’euros dans les branches B1 et B2, et, respectivement, de 95, 50, 120 millions d’euros dans les branches B3, B4, B5. Calculer alors les nouvelles valeurs ajoutées des différentes branches ainsi que le PIB. 4. Le gouvernement cherche à comprendre

présente dans le sang sera supérieur à ou égale a 5mg. Nous pouvons donc grâce a l’utilisation du théorème des valeurs intermédiaire déterminer au bout de combien de minutes le traitement commencera à être efficace. On voit que sur 0;2 f est strictement croissante et continue et que f(0)=0 et f(2)= 6 or 5 est compris dans l’intervalle 0;6 dans d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire f(t)= 5 admet une unique solution alpha sur 0;2. A l’aide de la calculatrice on trouve alpha environ

6.1 Théorème de superposition Dans un circuit linéaire à plusieurs générateurs, continus ou variables, le courant électrique, dans chaque branche ou impédance, est égal à la somme Σ des courants I que produiraient seul, chacun des générateurs, les autres étant remplacés par des court-circuits. fig 6.1 Etape 1 Nous calculerons d’abord les courants In’ dus à U1 seul, puis les courants In’’ dus à U2 seul. Etape 2 Les courants réels seront la somme Σ, en tenant compte de leur sens, des courants In'