Théorème des valeurs intermédiaires

Fiche BAC S 03 Term. S Théorème des valeurs Intermédiaires (th.v.i.) Exercice n°1. [RÉSOLU] On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4 1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ . 2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ . 3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α . 4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ ------------

Limites de fonctions Notion de limite 11 Paradoxe! 12 y Vais-je toucher l’axe des y ? O 1/8 1/4 1/2 1 x Définition mathématique d’une limite finie en une valeur finie 13 Exemples 14 Limite infinie en une valeur finie 15 Limite finie en l’infinie 16 Exemples 17 Limite infinie en l’infinie 18 Exemples 19 Théorème des croissances comparées 20 Concrètement … 21 Formes indéterminées 22 23 Limite à droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

…………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………. IV Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. 1) Continuité Exemples et contre-exemples : f est continue

Exercice IV (6 points). Partie A : Restitutions Organisées de Connaissances. On rappelle le théorème des valeurs intermédiaires : Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur l’intervalle [a ;b]. Alors pour tout réel k entre f ( a ) et f ( b ), l’équation f (x) = k admet au moins une solution sur [a ; b]. Enoncer et démontrer le théorème de la bijection dans le cas d’une fonction f strictement croissante sur l’intervalle [a ; b]. Partie

(« au minimum » sur un intervalle de [a ;∞[ a. lim f(x)=+∞ x→+∞ f(x) tend vers +∞ si et seulement si pour tout réel M, « à partir » d'une valeur A : f(x)⩾ M ∀ M∈ ℝ, ∃ A∈ ℝ, x⩾A⇒ f(x) ⩾M Exemples : lim x²=+∞ x→+∞ ; lim √x=+∞ x→+∞ b. lim f(x)=-∞ x→+∞ f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers -∞ si et seulement si, pour tout réel M, « à partir » d'une valeur A : f(x)≤M ∀ M∈ ℝ, ∃ A∈ ℝ, x≤A⇒f(x)≤M c. lim f(x) = l ∈ ℝ x→+∞ Exemples : • • lim 1 x→+∞ x lim 3 + x→+∞ • lim =0 1 √x x2 +2 x→+∞

définie par : ∀x ∈ I : G ( x) = F ( x) − F (a ) + λ . Proposition 3: Soit f , g : I → ℝ ,deux fonctions admettant des primitives F et G sur I et (α , β ) ∈ ℝ 2 . Alors la fonction α F + β G est une primitive de α f + β g sur l'intervalle I . Théorème : Soit f : I → ℝ ,une fonction continue sur I . Alors f admet des primitives sur I . II – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé : II – 1 - Définition de l’intégrale : Définition : Soit f : [ a, b ] → ℝ , a ≤ b ,une fonction

lorsqu'elle tend vers 0, elle peut le faire : - 2/8 - 1 x Ch1 : Limites et continuité (TS) Par la droite lorsque x se rapproche de 0 par la gauche ou par valeurs inférieures, f(x) tend vers -∞ ∞. On dit alors que la limite à gauche de f(x) en 0 est égale à -∞ ∞. Ce que l'on résume par : lorsque x se rapproche de 0 par la droite ou par valeurs supérieures, f(x) tend vers +∞ ∞. On dit alors que la limite à droite de f(x) en 0 est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : La fonction inverse n'admet

Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . ∗ A Ce document a été réalisé à l’aide de LTEX 2ε , un lociciel libre. 1 1 Analyse Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) f (x) v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim f (x) = l x→a 1.1 Limites et ordre 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez

l’image de l’intervalle est ] 1 ; +1[, avec 0 qui appartient à ce dernier donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique  2]0 ; +1[, tel que f () = 0. 3. Vérifier que : 1 2 6  6 1. On remarque que f  1 2   0:19 et f (1) = 1 + ln(1) = 1. On a donc f  1 2  < 0 et f (1) > 0, donc comme dans la question précédente par application du théorème des valeurs intermédiaire, on en déduit que 1 2 <  < 1 . www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite