Théorème de la bijection

Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le

précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie III, nous développons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de

x1 n ⎜ .. ⎟ xk ek ⎪ ⎝ . ⎠ → ⎪ ⎪ ⎩ k=1 x n w réalise un isomorphisme de Mn,1 (K) sur E qui induit une bijection de El (A) sur El (u) pour tout l ∈ K. Preuve On prouve sans difficulté que w est une application linéaire bijective. De plus, pour l ∈ K et X ∈ Mn,1 (K), X ∈ El (A) ⇔ AX = lX ⇔ u(w(X)) = lw(X) ⇔ w(X) ∈ El (u). ❑ ➤ Remarques • On déduit de ce théorème que les valeurs propres de A sont les valeurs propres de u et pour tout l ∈ K, dim(El (u)) = dim(El (A)). • Cette

Barycentre de deux, trois points pondŽrŽs. ¥ dŽfinition. ¥ propriŽtŽs (commutativitŽ, associativitŽ, homogŽnŽitŽ) II. REPéRAGE CARTƒSIEN. a) RepŽrage sur une droiteÊ: abscisse dÕun point, mesure algŽbrique b) Version algébrique du théorème de Thalès c) RepŽrage cartŽsienÊ: • rep•re quelconque du plan. • coordonnŽes du barycentre. • Changement de repère par translation. d) ColinŽaritŽ de deux vecteursÊ: • condition de colinŽaritŽ. • dŽterminant de deux vecteurs. e) ƒquations

1 L’ensemble des valeurs d’une variable discrète est fini où dénombrable (il est en bijection avec un sous-ensemble des naturels). L’ensemble des valeurs d’une variable continue inclut un intervalle non dénombrable1 [ ] ⊆ R. © ª∞ Exemple La variable  ∈ 2 =0 est discrète mais elle peut prendre une infinité de valeurs. 1 L’infinité du continuum est d’ordre supérieur à celle des nombres naturelles (aucune bijection n’est possible). 3 4CHAPTER 1. INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE (VARIABLES

vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 20 21 23 24 2 3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces

par l’ordre dans lequel on monte et on descend, c’est-à-dire par les indices i où l’on monte. Il s’agit donc de choisir n−m + b−a 2 2 indices parmi n − m, soit un nombre de chemins de � n−m � . � n−m + b−a 2 2 Principe de réflexion Théorème 9.9 Soient a et b deux entiers strictement positifs, et m < n deux entiers. Alors le nombre de chemins joignant (m, a) à (n, b) et touchant l’axe des abscisses est exactement le nombre de chemins joignant (m, a) à (n, −b). Développement

: Exercice 1 Correction exercice 2. 1. ( ( ) ( ( ( Donc ) ) ( )( ) ) ( ( ( est linéaire. ) ( ( )( ) ) ( ( ) ( ( ( ) ( ) { { ( ( ) Donc ( ) avec D’après le théorème du rang ( ) ). 16 )) ) 2. ( ) ) )) ) ( ) ( ( ( ) { { ) ( ) ( ) Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé ( ) ( ( ) . Une base est (( ) ( ( 3. Donc ( ) Allez à

vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 20 21 23 24 2 3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces

n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective. X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}. Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini). ℕ est dénombrable.  1.1.5 Définition : Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable. 1.1.6 Théorème : Soit X un ensemble