Calcul di�érentiel Di�érentiabilité des fonctions de deux variables à valeurs réelles
1 Dé�nition d'une fonction vectorielle
Dé�nition 1
Soient n ∈ N?, p ∈ N? et U un ouvert de Rn. Une fonction vectorielle de plusieurs variables est une fonction de la forme f : U → Rp
(x1, . . . , xn) 7→
(
f1(x1, . . . , xn), . . . , fp(x1, . . . , xn)
)
où, pour tout i ∈ {1, ..., n}, les fi sont des fonctions de n variables à valeurs réelles.
Les fonctions réelles f1, f2, . . . , fp sont appelées fonctions coordonnées …afficher plus de contenu…

Jf+g(x, y) = Jf (x, y) + Jg(x, y).
2. Jλf (x, y) = λJf (x, y).
Proposition 6 (composition)
Soient U un ouvert de R2, g : R2 → R2 et f : U ⊂ R2 → R2 deux fonctions di�érentiables alors
Jf◦g(x, y) = Jf (g(x, y)) · Jg(x, y)
6 Di�éomorphisme de R2 dans R2
Dé�nition 6 (jacobien)
Soit f : R2 → R2 une fonction de classe C1 sur un ouvert U . On appelle Jacobien de f au point (x, y) ∈ U le
2Calcul di�érentiel Di�érentiabilité des fonctions de deux variables à valeurs réelles déterminant de la matrice jacobienne de f au point (x0, y0), notée
D(f1, f2)
D(x, y)
(x0, y0)
D(f1, f2)
D(x, y)
(x0, y0) =
∂f1 …afficher plus de contenu…

On dit que f est un Ck-di�éomorphisme de U dans
V si f est une bijection de U sur V telle que f soit de classe Ck sur U et f−1 de classe Ck sur V .
Proposition 7
Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. Si f est un Ck-di�éomorphisme de U sur V , alors pour tout (x, y) ∈ U , avec (z, w) = f(x, y), f ′(x, y) est un isomorphisme de R2 dans R2, tel que[ f ′(x, y)
]−1
=
[
f−1
]′
(z, w)
Proposition 8
Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. Si f est un Ck-di�éomorphisme, pour tout (x, y) ∈ U avec (z, w) = f(x, y), on a (
Jf (x, y)
)−1
= Jf−1(z, w) dans la base canonique de R2.
7 Matrice jacobienne d'une fonction de R3 dans