Thales Optronique

Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable (voir énoncé précis ci-dessous). En anglais, il est connu sous le nom de Intercept theorem (soit théorème d'intersection) ; en allemand il est appelé Strahlensatz, c'est-à-dire théorème des rayons. Ce résultat est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet. Cette attribution

payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées. La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques. La

Fiche élève 5 Narration de séance et productions d’élèves 6 Fiche professeur LE TIPI Niveaux et objectifs pédagogiques 3e : introduction au théorème de Thalès dans le cas de la configuration « papillon ». Pré-requis nécessaire : théorème de Thalès avec des triangles « emboités », niveau 4e. Ou 3e : réinvestissement du théorème de Thalès dans une configuration « papillon ». Modalités de gestion possibles Appropriation individuelle puis travail en groupes avec production écrite pour chaque groupe

3ème – Chapitre 02 Propriété de Thalès PROPRIETE DE THALES 1) Le théorème de Thalès Enoncé A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AM AN MN .   AB AC BC On se trouve dans l'un des trois cas suivants : M N (d') (d') (d) (d) A M B (d) (d') A A N B C C N M C B Utilisations - Calculer une longueur quand on a deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles (voir exemple 1) ; - Prouver que deux droites ne sont pas parallèles

B Cette propriété est connue « théorème des milieux ». le nom de Dans un triangle, il y a trois « droites des milieux ». +J + I sous On dit que le triangle IJK est le « triangle des milieux » du triangle ABC. C II) Parallèles et sécantes (Thalès relatif au triangle) Propriété : (théorème direct relatif à ABC) Dans un triangle ABC, où M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC], si (MN) est parallèle à (BC), alors on a : AM AN MN = = AB AC BC Tableau de proportionnalité : Côtés

(FE)//(AB) donc, d'après le théorème de Thalès : C F CE FE = = . C A C B AB On remplace dans cette inégalité les lettres par les longueurs connues : CF 3 EF 6×3 30 3×7,2 36 = = = = donc CF= et EF= 6 6,6 7,2 6,6 11 6,6 11 Les longueurs cherchées sont : CF= . 30 36 cm et EF= cm. 11 11 Liens : apprend à rédiger - Exercice apprend à calculer - Exercice Exercice8 On suppose que les maisons ont des façades parallèles. On reconnaît ainsi une situation où le théorème de Thalès peut s'appliquer en notant « ? »

séparément D’une part, AR 8 = = 0,4 AB 20 D’autre part, On a donc AS 11,6 = = 0,4 AC 29 AR AS = AB AC De plus les points A, R, B d’une part et les points A, S, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RS) et (BC) sont parallèles. b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. D’une part AC² = 841 D’autre part BC² + AB² = 441+400 = 841 On a donc AB² + BC² = AC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est

soit supérieur à 8 m3. - La hauteur minimale AB de son appentis soit supérieure à 1,60 m. On désignera par x la longueur de [SB] exprimée en mètres. On utilisera : OS = 3,6 m 1- Exprimer OB en fonction de x. 2- Montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que AB = 3 x 1,2 x 1,6 1,2 4- a) Exprimer en fonction de x l’aire du trapèze ABST. 3- Résoudre l’inéquation : 3 2,5x² 2,4 c) Calculer ce volume pour x = 1,5 puis conclure quant au choix de cette valeur. b) Montrer alors que le volume de l’appentis

droites (NS) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EC), elles sont donc parallèles entre elles b- Calculer les valeurs exactes de OS et de ES. Les droites (EC) et (AS) étant sécantes en O, puisque (NS)//(AC) d'après le théorème de Thalès on a : OA OC AC 6 3 3 3 = = = = d'où OS OE ES OS 5 ES Calcul de OS : 6 3 = OS 5 OS= 6×5 3 OS = 10 cm 3- Calculer ON sachant que Dans le triangle NOE, on a : EO ON EO ON= cos  NOE 5 ON= cos 30 cos  NOE = ON ≈ 5,8 cm Calcul de ES : 3 3 3 =

 0,    m   -­‐  Calcul  de  CD  et  DE.   -­‐  Les  droites  (AE)  et  (BD)  sont  sécantes  en  C   -­‐  Les  droites  (AB)  et  (DE)  sont  parallèles   D’après  le  théorème  de  Thalès  :     D’où  :       d’où     d’où    m    m   -­‐  Calcul  de  la  longueur  du  parcours  ABCDE   L  =  AB  +  BC  +  CD  +  DE  =  300  +  500  +  1250  +