Système linéaire

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

question précédente, pour (α, β) ∈ R2 , matB (αp + βq) = diag(α, α, β). En particulier, matB (αp + βq) est une matrice diagonale. Si maintenant h est l’endomorphisme de matrice Y dans la base B, alors h2 = f car Y 2 = D mais h n’est pas une combinaison linéaire de p et q car Y n’est pas diagonale. 9) Puisque f est diagonalisable, R3 = E1 ⊕ E4 où E1 = Ker(f − id) et E4 = Ker(f − 4id). Soit h un endomorphisme de R3 tel que h2 = f. Alors h et f commutent et on sait que E1 et E4 sont stables par h ou encore

Chapitre VII : Les statistiques I. Point moyen – Covariance Sur une population donnée, étudions deux caractères. Pour chacun des n individus de cette population, notons xi et yi les valeurs prises par chacun de ces caractères, et présentons les données à l’aide de la série statistique à deux variable suivante : Valeur xi x1 x2 … xn Valeur yi y1 y2 … yn a) Nuage de points - Point moyen Définition : Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points Ai de coordonnées (xi ; yi) (avec 1  i  n) est appelé

|–0,5 | |yi |11 |9 |11 |12 |10 | Représenter le nuage de points Ai (xi ;yi). Un ajustement linéaire semble-t-il justifié ? Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série. Donner l’équation de la droite de régression de y en x, la tracer… [pic] Exercice 1 : Sur le graphique ci-contre sont représentées les courbes

Exercices corrigés de statistiques Exercice n°1 Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m 3) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant : Nombre de jours écoulés xi Volume utilisé (en m3) yi 1 2,25 3 4,3 5 8 8 17,5 10 27 Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unité sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 jour et sur l'axe des ordonnées 0,5 cm pour 1 m3. 1) Représentez alors la série (xi;yi ). 2) Donnez

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est l'application linéaire qui fait correspondre à u sa projection orthogonale sur E. Ce projecteur s'écrit:

M_n(K) Matrice d’une application linéaire - Expression matricielle d’une application linéaire - Matrice carrée d’un endomorphisme – Calcul élémentaire de l’inverse d’une matrice carrée inversible ….. c’est tout pour cette colle Les colles de cette semaine seront ciblées sur : Les matrices en tant que tableaux de scalaires , les opérations et les structures de certains ensembles de matrices La matrice d’une application linéaire et son usage en lien avec noyau , image

Babyloniens n’hésitaient pas à faire une interpolation linéaire pour trouver des valeurs approximatives... On trouve un exemple clair de l’usage pratique d’interpolation avec des tables exponentielles dans un texte-problème qui demande combien de temps il faut pour qu’un capital double si le taux d’intérêt annuel est de 20 %. La réponse est 3;47,13,20, soit 3 ans 47/60 13/3600 20/216000. Il semble très clair que le scribe a utilisé une interpolation linéaire entre les valeurs s (1;12)3 et (1;12)4 , d’après

terme à pendant longtemps était considérée comme une relation linéaire, en effet le taux de long terme est modélisé comme une moyenne pondérée des anticipations par les agents des taux courts, si ces anticipations sont basées sur un modèle linéaire autorégressif de type AR, ARMA, ou ARIMA, le taux de long terme est fonction linéaire du taux de court terme. Néanmoins, plusieurs études ont montré par la suite une relation non linéaire entre les taux. * Plan de l’étude : Après avoir établit