chapitre

13 Applications du produit scalaire
Travaux dirigés
TD 1 1. AM ( x – x 0 ; y – y 0 ) AM et u colinéaires donc ( x – x 0 ) – ( y – y 0 ) = 0 ou x – y – x 0 + y 0 = 0 . On obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a = , b = – et c = y 0 – x 0 . Il en résulte qu’une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 et comme = – b et = a le vecteur u ( – b ; a ) est un vecteur directeur. 2. a) Les coordonnées de A vérifient ax + by + c = 0 donc A ∈ E . c b) AM  x ; y + --  u ( – b ; a ) . Les vecteurs AM  b c et u sont colinéaires donc ax + b  y + --  = 0 ou  b ax + by + c = 0 . Ainsi E est la droite définie par A et u ( – b ; a ) . c) Lorsque b = 0 les coordonnées du point c A  – -- ; 0 vérifient ax + by + c = 0 donc A ∈ E .  a  c AM  x + -- ; y ; u ( – b ; a ) . Les vecteurs AM et  a  c u sont colinéaires donc a  x + -- + by = 0 ou  a ax + by + c = 0 . D’où la conclusion. TD 2 1 1. a) 4b 2 c 2 cos2 A = 4b 2 c 2 ( 1 – sin2 A ) = ( b2 + c2 – a2 )2 d’où 4b 2 c 2 sin2 A = 4b 2 c 2 – ( b 2 + c 2 – a 2 ) 2 ( 1 ) . 1 b) p = -- ( a + b + c ) . ( 1 ) s’écrit : 2 4b 2 c 2 sin2 A = ( 2bc + b 2 + c 2 – a 2 ) ( 2bc – b 2 – c 2 + a 2 ) 4b 2 c 2 sin2 A = (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c) = 2p ( 2p – 2a ) ( 2p – 2c ) ( 2p – 2b ) = 16p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c )

(page 369) d’où b 2 c 2 sin2 A = 4p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) . 1 2. Or S = -- bc sin A 2 donc S = p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) . 2
O B H A

1. HOC = A donc HC = OC sin A a ou -- = R sin A et a = 2R sin A . 2 C 2. Avec l’angle obtus la démonstration est identique.

3. On a de même b = 2R sin B et c = 2R sin C a b c -------------- = ------------- = ------------- = 2R d’où de plus sin A sin B sin C 1 abc S = -- bc sin A = -------- . 2 4R 3 aire ( ABC ) = 1 BC × IH + 1 AC × IK --2 2 1 1 + -- AB × IL = -- ( AB + BC + CA ) × r = pr . 2 2 4 2p = 15 ; aire ( ABC ) = 15 × 3 × 5 × 7 = 15 7 . ----- -- -- -- ----- - - 2 2 2 2 4 15 ----- 7 abc 6 × 5 × 4 8 7 S 2