Série dérivée

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

sont continues sur I ( en tout point de I) alors f+g , f.g , lg et sont continues sur I (g(x) 0). Conséquence : Les fonctions constantes, affines, polynômes, rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. 2- La dérivation Dérivées de fonctions usuelles : Opérations sur les fonction dérivables : Théorème : Si f et g sont dérivables sur I ( I et fn sont dérivables et on a : IR) alors f + g, f , f.g(g 0), Sens de variation d’une fonction : Résolution d'une

est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note : +∞ lim Sn = n→+∞ un n=0 Une série qui n’est pas

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2006 - groupement B Éléments de correction Exercice 1 A. Résolution d’une équation différentielle 1. L’équation caractéristique associée à (E0 ) est : r 2 − 3r − 4 = 0. Le disciminant ∆ = 9 + 16 = 25 est stictement positif. L’équation caractéristique admet alors deux racines rélles distinctes r1 = −1 et r2 = 4. Les solutions de l’équation différentielle (E0 ) sont alors les fonctions définies sur R par : y(x) = λe−x + µe4x avec λ et

autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courEn physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage

Sommaire 1. Séries Entières, Convergence 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . . 5 1 4. Développement en S.E., Somme de S.E. 4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de certaines séries entières

régulière en tout point de [a, b]. On appelle courbe lisse de classe C k un chemin régulier γ : [a, b] → U de classe C k tel que : 1. Si γ(a) = γ(b), γ est injective ; 2. Si γ(a) = γ(b), γ est injective sur ]a, b[, γ −1 (γ(a)) = {a, b} et toutes les dérivées jusqu’à l’ordre k de γ coïncident en a et en b. On appelle compact à bord orienté de classe C k par morceaux dans R2 un compact K dont la frontière est une union finie de courbes lisses de classe C k deux à deux disjointes à l’exception faite de

déterminer la dimension de l’espace des solutions et en expliciter une base. 2 La série de Fourier de la condition initiale la fonction égale à sur [0, ] , impaire et prolongée par 2 -périodicité à R On note tout entier. Question 4 Tracer la courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau On note Φ′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée ′ sur chaque intervalle de la forme ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2[ , ∈ Z et prolongée par continuité

1a) P si x = 0 on a pour tout n , un (x) = 0 donc la série un (0) converge P 1 1 si x 6= 0 on a un (x) n >+1 x n 1+1 . Les séries sont à termes positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) = 1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente. +1=2 . Donc pour a 2 Pn P On a trouvé une suite (xn ) telle que u(xn ) diverge . la série un ne converge pas normalement 1b) On a la majoration