E4A 2002 Math 2 exercice 2

Remarque préliminaire : les fonctions un sont dé…nies sur R et impaires. on ne restreint pas l’ étude en supposant x 0 1a) P si x = 0 on a pour tout n , un (x) = 0 donc la série un (0) converge P 1 1 si x 6= 0 on a un (x) n >+1 x n 1+1 . Les séries sont à termes positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) =
1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente. +1=2 . Donc pour a 2 Pn P On a trouvé une suite (xn ) telle que u(xn ) diverge . la série un ne converge pas normalement

1b)

On a la majoration :

x

x 1 ) un (x) n 1:1 = n1 x 1 1 ) un (x) n :nx2 = x n 1+1
+

1 n

donc

> 1 )CVN

Mais je ne trouve pas de majoration simple marchant pour tout u0 (x) n

> 1=2:On peut calculer supR+ (un ) :

de plus k 2n ) inégalités :

1c) Si > 1=2 le résultat est évident d’ après la question précédente. P 1 b 1 b Sur un segment [a; b] R+ on a jun (x)j n >+1 a2 n1+ . la série n (1+na2 ) n1+ converge car 1 + donc dire que P un converge normalement sur tout segment inclus dans R+ P+1 P2n x x 1d) On a Rn (x) = k=n+1 k (1+kx2 ) k=n+1 k (1+kx2 ) puisque les termes manquants sont positifs.
1 k 1 (2n)

. L’ étude des variations ne pose pas de problème un est une fonction continue sur R de dérivée = P p 1 1 supR+ (un ) = un (1= n) = 2 n +1=2 . La série supR+ (un ) converge si et seulement si > 1=2 P un converge normalement sur R+ si et seulement si > 1=2 > 1 . On peut

1 1 nx2 n (1+nx2 )2

et (2n

1 et

1=2) ) (2n)
2n X

(2n)

1=2

donc

x k (1+kx2 )

x (2n)1=2 (1+kx2 )

. Et en ajoutant les

Rn (x) Si on prend x =
1 p n

x (2n)
1=2

k=n+1

(1 + kx2 )
1 p n 2

(cf 1b pour essayer cette valeur) Rn

1 p n

On a trouvé une suite (xn ) de R+ telle que Rn (xn ) ne tend pas vers 0 . P

P2n

1 k=n+1 1+ k n

1 p n 2

P2n

1 k=n+1 3

=

1 p 3 2

un ne converge pas