Série dérivée

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr LIMITES – EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ∞ de chacune des fonctions suivantes : 1 x3 1) f ( x ) = 2) f ( x ) = − x 4 1 x 3) f ( x ) = −3 + Déterminer la limite éventuelle en − ∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) f ( x ) = − x 3 5) f ( x ) = 5 + 1 x 6) f ( x ) = −x Déterminez les limites suivantes 7) lim (2 x + 1 − x →+∞ 1 ) x 8) lim(

de la tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a est : y = f ′ (a) × (x − a) + f (a) II 1 F ONCTION DÉRIVÉE D ÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f ′ (x) est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I. Elle est notée f ′ . 2 D ÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur . . .

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES LE RÔLE DES COEFFICIENTS Rappels des définitions. Compléter le tableau suivant : | |Fonction linéaire f |Fonction affine g | |Formule de l’image |f(x) est de la forme : f (x) = ………… |g(x) est de la forme : g (x) = ………… | |Ecriture de la fonction |f : x 

[000738] Exercice 11 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = Pn (t) 1/t e t 2n où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction Vidéo [000740]

free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple

le note f ' (a) Si la variable représente une durée alors le nombre dérivé est une vitesse instantané. Equation de la tangente : y=f’(a) X (x-a) + f(a) Fonction dérivé : Def : Soit f une fonction définie sur un domaine Df. On appelle la fonction dérivée de f = f' ; la fonction qui à chaque valeur de x associe son nombre dérivé f ' (x) Ex : si f(x)=x² alors f '(x)=2x Remarque : Il existe parfois des valeurs de x par laquelle il n'y a pas de nombres dérivés. On dit que f n'est pas dérivable pour ces

sont les courbes représentatives de quatre fonctions f, g, h et k. Les courbes a, b, c, d ci-dessous sont les courbes représentatives de leurs fonctions dérivées f  , g’, h’, k’ dans le désordre. Associer à la courbe de chaque fonction la courbe de sa fonction dérivée. Recopier sur votre copie les paires de courbes fonction – fonction dérivée. Aucune justification n’est demandée. n° 2. sur 2 points Par lecture graphique, et sans justification : 1. Résoudre l’´equation f(x) = 0. 2. Résoudre l’inéquation

l’utilité Troisième phase : utilité marginale négative Consommation d’une unité supplémentaire diminue la satisfaction => exclue car irrationnelle Um= V°Ut/V°X Dérivée de l’utilité totale (rapport de V°Ut sur V°X quand V°X->O) Um= Ut’=dU/dX [V° : accroissement ponctuel entre deux variables quelconques d : différentiel (dérivée : fonction continue)] *reste valable en cas d’utilité totale ordinale : valeur symbolique B. La courbe d’indifférence On fixe un niveau d’utilité donné. Elle

Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule. Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, plus familier, impliquerait d’utiliser des formules trigonométriques pour exprimer

Statistiques Introduction - Qu'est ce que la statistique? Ensemble de méthode qui va permettre de décrire et d'analyser quantitativement les éléments nombreux de même nature. ==>Ensemble des méthodes: car la statistique n'est pas une théorie en soi, mais un outil rigoureux pour décrire des phénomènes. Le rôle d'explication et de prévision revient la l'examinateur. Quantitativement: la statistique se doit d'être rigoureuse. Elle fournit une mesure objective d'un phénomène et non des avis