Série dérivée

nous en donne une équation : x -a y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a) III) FONCTION DÉRIVÉE Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'. La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3. Définition 2

( ) et de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. 1. Calculer un développement limité à l’ordre au voisinage de ( ) ( ) de : 2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en prolongée admet une dérivée première en . 3. Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de ( ) ( ) ( ) et que la fonction ainsi de : Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Justifier l’existence et calculer le développement limité à l’ordre

type f (x) = k 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquence 2 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Dérivée des fonctions « puissances » Dérivée de u +v, de ku, de uv Problème d’optimisation 1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

Correction MATHEMATIQUES : (15points) Exercice 1 PARTIE A 1. 1.1 g(0) = 1 1.2 g(0) = c donc c = 1 2. g’(0) = -0,25 et g’(0) = b donc b=-0,25 3. 3.1 g(-5) = 3,5 et g(-5) = 25a + 0,25´5+1 = 25a+2,25 donc on a : 25a+2,25 = 3,5 3.2 25a=1,25 donc a= 1,25/25 = 0,05 4. g(x) = 0,05x2 –0,25x + 1 PARTIE B : 1. f(0) = 1 donc B(0 ;1) est sur la courbe. f(5) = 0 donc C(5;0) est sur la courbe. 2. f’(x) = 0,018x2 –0,04x – 0,25 3. f’(0) = -0,25 et f’(5) = 0 4. D passe par B car si x=0 alors y=1 (avec

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ ¥ [ par i(x) = 4 + - ² Exercice 3 (3.5 points) j est une

convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . . . . . 7.3.2 Dérivées de la somme d’une

1 Dénitions Dénition d'une série entière : Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre

sous forme d’expression symbolique ou sous forme gr graphique. 2. Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur un intervalle. 3. Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 4. Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d’une fonction et tracer son graphique. 5. Résoudre des problèmes d’optimisation et de taux de variation. s Professeurs : Nicolas Beauchemin (A-332), Stéphane Beauregard (A (A-340), Hélène

strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle