Série dérivée

Corrigé DM dérivées Exercice 1 1. ( Voir exos faits en classe pour la rédaction) –1 x 2 11 f(x) 4 f’(x) 2. a) Pour résoudre f(x) = 1 T 06 0 3 0 1 2 –2 11 11 , on trace la droite d’équation y = 4 4 1 1 Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbe C d’où S = { – ; }. 2 2 11 b) Les solutions de l’inéquation f(x) ≤ sont les abscisses de tous les points de la courbe C d’ordonnée inférieure 4 1 1 11 . D’où S = [ – 1 ; – ] ∪ [ ; 4]. à 2 2 4 3

Sophie s’intéresse aussi à la littérature dès son plus jeune âge «  J'aime la poésie avec passion : la forme, la mesure du vers, me causent une vive jouissance, je dévore avidement les fragments de poésies russes qui me tombent sous les yeux, et, il faut bien l'avouer, plus elles sont remplies d'emphase, plus elles me charment. -Le rythme du vers a toujours exercé sur moi un charme si puissant que, dès l'âge de cinq ans, je faisais des vers. Mon institutrice n'approuvait aucunement ce genre d'occupation :

f(t) en mètres. La vitesse instantanée du surfer peut être obtenue pour chaque instant t à partir de f(t) en déterminant le nombre dérivée à l’instant t. Déterminez, par la méthode de votre choix, le nombre dérivé de la fonction f aux instants t = 0 et t = 15 s. En déduire, en m/s, les vitesses à l’entrée et à la sortie du tube. Déterminer une fonction dérivée La vitesse du surfeur Un surfeur est resté 15 secondes dans un tube. Pour obtenir la fonction donnant la position du surfeur à chaque

DÉRIVATION 1. Nombre dérivé d’une fonction en un point Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. 1) Qu’est-ce que le nombre dérivé de f au point a ? Définition Le nombre dérivée de la fonction f au point a est par définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d’abscisse a. Il se note f’(a). Exemple On considère la fonction f suivante, dont la représentation graphique est donnée

question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandé. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5]. On note f ′ la fonction dérivée de f . y 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 1. Sur l’intervalle [−5 ; 5] : a) f est une fonction de densité de probabilité c) f n’est pas continue b) f est positive d) l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions 2. Sur l’intervalle

x 3) T : y = f (9) + f (9)(x − 9) ; f (9) = ; f (x) = = √ ; f (9) = ;T :y= x+ 3 x2 2x x 54 54 2 Réponses exercice 3 : Rappel : le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est égal à f (a). (−2x + 2)x − (−x2 + 2x − 1) −x2 + 1 La dérivée de f est définie par : f (x) = = . x2 x2 1) La tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul. On résoud donc l’équation f (x) = 0. On obtient x = 1 ou x = −1. 2) Cela revient à résoudre l’équation f (x) = −2 qui n’admet

D´ erivation 1 D´ efinition D´ efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est f (x) − f (a) d´erivable en a si la fonction x 7→ admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement

proportionnel à x2 – x1, comme le donne l’égalité : f(x_2) - f(x_1) = a (x_2 - x_1). Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a : a = \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} si x1 ≠ x2. Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante : le coefficient directeur de la fonction affine. L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante : b=\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1} si x1 ≠ x2. Exemples Abonnements

démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex . Les pré requis La fonction exponentielle est dérivable , sa dérivée est elle-même Les courbes des fonctions ln x et ex sont symétriques par rapport à la première bissectrice . Les formules de calcul avec ln x La démonstration On note C la courbe de e x et C’ la courbe de ln x . Soit D la première bissectrice

CINEMATIQUE A UNE DIMENSION I – Position. Déplacement. Distance parcourue. Soit un point matériel x se déplaçant le long d’une droite orientée muni d’un axe (x’Ox). Sa position : x est repéré par rapport au point d’origine O. La fonction x(t) est l’équation horaire du mouvement. Le déplacement est la variation de position entre l’instant initial et l’instant final : ∆x = xf - xi La lettre grecque ∆ désigne la variation de la grandeur dont elle est suivie. Elle correspond toujours