Exercice sur le produit scalaire
1) D’après une formule sur le produit scalaire :
−→
AJ.
−→
AC =
1
2
(
||
−→
AJ ||2 + ||
−→
AC||2 − ||
−→
AJ −
−→
AC||2
)
=
1
2
(
||
−→
AJ ||2 + ||
−→
AC||2 − ||
−→
CJ ||2
)
=
1
2
(
AJ2 + AC2 − CJ2
)
On connait CJ = 1
2 .
Il nous faut calculer AJ et AC.
On calcule d’abord AJ .
Dans le triangle ABJ rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
AJ2 = AB2 + BJ2
AJ2 = 12 +
(
1
2
)2
AJ2 = 1 +
1
4
AJ2 =
5
4
AJ =
√
5
4
AJ =
√
5
2
On calcule ensuite AC.
Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 12 + 12
AC2 = 2
AC =
√
2
On est maintenant en mesure de calculer le produit scalaire
−→
AJ.
−→
AC :
−→
AJ.
−→
AC =
1
2
(
AJ2 + AC2 − CJ2
)
=
1
2
(
5
4
+ 2− 1
4
)
=
1
2
(
5 + 8− 1
4
)
=
1
2
× 12
4
=
1
2
× 3 =
3
2
Une autre façon d’écrire le produit scalaire
−→
AJ.
−→
AC est :
−→
AJ.
−→
AC = ||
−→
AJ ||.||
−→
AC||. cos(ĴAC)
1Donc :
3
2
= AJ ×AC × cos(ĴAC) cos(ĴAC) =
3
2 …afficher plus de contenu…

Il nous faut calculer l’angle ÎDA, et la distance ||
−→
DI|| = DI.
On commence par calculer la distance DI.
Dans le triangle DAI rectangle en A, le théorème de Pythagore, nous donne que :
DI2 = AD2 + AI2 = 12 +
(
1 …afficher plus de contenu…

Dans le triangle DAI rectangle en A, la trigonométrie nous donne : cos(ÎDA) =
AD
DI
=
1
√
5
2
=
2√
5
=
2
√
5
5
2On est maintenant en mesure de calculer le produit scalaire
−→
DI.
−−→
DA :
−→
DI.
−−→
DA = DI ×DA× cos(ÎDA)
=
√
5
2
× 1× 2
√
5
5
=
√
5√
5
−→
DI.
−−→
DA = 1
b) L est le projeté orthogonal du point A sur (DI), donc :
−→
DI.
−−→
DA =
−→
DI.
−→
DL
De plus, les points D,L et I sont alignés dans cet ordre, donc l’angle orienté
(
−→
DI,
−→
DL) = 0◦, d’où cos(
−→
DI,
−→
DL) = cos(0) = 1, donc :
−→
DI.
−→
DL = ||
−→
DI||.||
−→
DL||. cos(
−→
DI,
−→
DL) = DI ×DL
A la question précédente, on a vu que
−→
DI.
−−→
DA = 1, donc
−→
DI.
−→
DL = 1, d’où :
−→
DI.
−→
DL = 1
DI ×DL = 1
DL =
1
DI
=
1
√
5
2
=
2√
5
=
2
√
5
5