1 PRODUIT SCALAIRE Préambule
Le produit scalaire sert à calculer le travail (ou l’énergie) produit par une force qui s’applique sur un corps en mouvement.
Le mathématicien allemand Grassmann (1809-1877) et le physicien chimiste américain Gibbs (1839-1903) le notent par un point ou une croix.
La notion de travail d’une force correspond à l’énergie fournie par cette force lorsque son point d’application se déplace.
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Donc ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = (‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖ cos θ)2 + (‖𝑣 ‖ sinθ)2
‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2‖�⃗� ‖ × ‖𝑣 ‖ cosθ + ‖𝑣 ‖² cos² θ + ‖𝑣 ‖² sin² θ
‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2‖�⃗� ‖ × ‖𝑣 ‖ cosθ + ‖𝑣 ‖² (cos2 θ + sin2 θ)
Or ∀ θ ∈ ℝ, cos2 θ + sin2 θ = 1
Donc ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2‖�⃗� ‖ × ‖𝑣 ‖ cosθ + ‖𝑣 ‖²
Et enfin, ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2 �⃗� . 𝑣 + ‖𝑣 ‖²
On obtient donc : �⃗� . 𝑣 =
1
2
(‖�⃗� + 𝑣 ‖2 − ‖�⃗� ‖2 − ‖𝑣 ‖²) pour tous vecteurs �⃗� et 𝑣 de 𝒱
• Dans u⃗ . v⃗ = =
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III. PROPRIETES ALGEBRIQUES DU PRODUIT SCALAIRE 1) Propriétés
Propriétés : Quels que soient 𝐮⃗⃗⃗⃗ , �⃗� , �⃗⃗� des vecteurs de 𝒱 et ⍺, β des réels,
i) �⃗⃗� . (�⃗� + �⃗⃗� ) = �⃗⃗� . �⃗� + �⃗⃗� . �⃗⃗� ii) �⃗⃗� . (⍺�⃗� ) = ⍺ (�⃗⃗� . �⃗� ) = (⍺�⃗⃗� ) . �⃗� iii) �⃗⃗� . (⍺�⃗� + β �⃗⃗� ) = ⍺ (�⃗⃗� . �⃗� ) + β (�⃗⃗� . �⃗⃗� ) (bilinéarité du produit scalaire)
Démonstration du iii): à l’aide de l’expression analytique donnée au II qui permet de démontrer facilement ces 3 propriétés. Propriété : Quels que soient 𝐮⃗⃗⃗⃗ , �⃗� des vecteurs de 𝒱,
i) (�⃗⃗� + �⃗� )² = || �⃗⃗� + �⃗� ||² = �⃗⃗� ² + 2 �⃗⃗� . �⃗� + �⃗� ² = || �⃗⃗� ||² + 2 �⃗⃗� . �⃗� + || �⃗�