Scalaire

normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x−

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car

que : e e < ., . > est un produit scalaire sur E. (b) Version 1 Notons (. | .) le produit scalaire canonique de Mn+1,1 (R). n Observons que si P = n ak Pk et Q = k=0 n bk Pk sont deux ´l´ments de E de matrices U et V dans la base ee k=0 ak bk = (U | V ). (P0 , P1 , . . . , Pn ) de E alors : < P, Q >= k=0 Rappelons que la base canonique (E1 , E2 , . . . , En+1 ) de Mn+1,1 (R) est une base orthonorm´e pour le produit scalaire e canonique (. | .) de Mn+1,1 (R)

d´finie positive et (ei ; ej ) est le transpos´ du u e e e vecteur (ei ; ej ). L’espace des individus est donc muni du produit scalaire : ei, ej = ei M ej . Le choix de M d´pend de l’utilisateur. En pratique les m´triques usuelles en ACP sont en e e nombre r´duit : ` part la m´trique M = I (Matrice identit´ de rang p ) ce qui revient ` utiliser e a e e a le produit scalaire usuel, la m´trique la plus utilis´e ( et qui est souvent l’option par d´faut des e e e logiciels d’ACP ) est la m´trique diagonale

P.C.S.I.1 Devoir en temps limit´ n◦ 7. e Mercredi 9 f´vrier 2011 de 13 ` 16h. e a Une fois encore, les calculatrices sont interdites. Exercice 1 1. Question de cours (a) Lorsque f est un projecteur, exprimer ses ´l´ments caract´ristiques sous forme de noyaux d’endomoree e phismes d´pendant de f . e (b) Mˆme question lorsque f est une sym´trie. e e     − y − 3z  x          2. Soit f l’endomorphisme de R3 d´fini par y  →  2x + 3y + 6z . e             z −x −

Les vecteurs I. Translation de vecteur AB Si je fais glisser le bateau 1 le long de la droite (d) de A vers B, j’obtiens le bateau 2. Ce glissement est appel´e translation de vecteur AB Par cette translation de vecteur AB, le point C a ´et´e transform´e en le point D. On dit que D est l’image de C par la translation de vecteur AB. On ´ecrit que AB CD a dire que la figure ABDC est un parall´ elogramme. Dire que AB CD revient ` A savoir : AB CD ´equivaut ` a dire ABDC est un parall´elogramme (´eventuellement

Rappels et compléments CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN A. Les vecteurs 1. Définition : Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé

1. Mesures des angles orientes Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. (O ,  , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de

Espaces m´triques (en fait evn) e Exercice 1. Ouverts disjoints ◦ ◦ Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re