Séries à termes de signe constant
Exercice 1 Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : ch n a) un = ch 2n b) un =

d) un = e−n
g) un =

α

1 n cos 2 n

− n 2 −1 n 2 +1 ln n e) un = α n 1 h) un = (ln n )ln n

1

1

 n   c) un =     n + 1  

n2

f) un = exp(−(ln n )α ) 1 n si n est un carré  i) un =  2 .  1 n sinon  

Exercice 2

Soit

∑ u et ∑ v deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer uv que ∑ max(u , v ) , ∑ u v et ∑ sont aussi convergentes. u +v n n

n n

n

n

n n

n

n

Exercice 3 Exercice 4

Soit Soit

∑u ∑u

n

une SATP convergente. Montrer que

∑

un un +1 est aussi convergente. < 1 alors

n

une SATP. On suppose que n un → ∈ » + . Montrer que si

convergente et que si > 1 , conclure.

∑u

∑u

n

est

n

est divergente. Observer que, lorsque = 1 , on ne peut rien

Exercice 5

Soit (un ) une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la série Montrer que nun → 0 .

∑u n ≥0

n

converge.

Exercice 6

Soit (un ) une suite de réels positifs et vn = nature. un . Montrer que 1 + un

∑u

n

et

∑v

n

sont de même

Exercice 7

Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. u a) Pour tout n ∈ » , on pose vn = n . Montrer que ∑ un et ∑ vn sont de même nature. 1 + un un b) Même question avec vn = . On pourra étudier ln(1− vn ) dans le cadre de la u1 + + un divergence. Soit (un )n ≥1 une suite réelle décroissante de limite nulle. On suppose que la suite (vn )n≥1 définie par vn = ∑ uk − nun est bornée. k =1 n

Exercice 8

Montrer que la série

∑u

n

converge.

Exercice 9

Soit (un ) et (vn ) deux suites de réels strictement positifs. a) On suppose qu’à partir d’un certain rang b) On suppose que un +1 vn +1 ≤ . Montrer que un = O (vn ) . un vn

1 un +1 α = 1− + o   avec α > 1 .   n    un n

Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de