Produit de Cauchy

n ds = det F F N dS Le tenseur gradient décrit la transformation locale au voisinage d'une particule donnée. Afin de rendre compte des déformations, c'est à dire des changements de forme autour de cette particule, on s'intéresse à l'évolution du produit scalaire de deux vecteurs matériels pris respectivement dans les deux configurations Ω0 et Ω(t). Considérons trois particules voisines X, X+dX, X+dX'. Après déformations, elles occupent dans Ω(t) les positions respectives x, x+dx, x+dx'. -T ()

2 172,2 2) D’autres moyennes a) La moyenne géométrique C’est la moyenne applicable à des mesures de grandeurs dont la croissance est géométrique ou exponentielle. La moyenne géométrique conserve le produit des x i : si on modifie les valeurs de deux observations tout en conservant leur produit, la moyenne géométrique sera inchangée. La moyenne géométrique G de la série de valeurs x1 , … , x i , … , x n supposées toutes positives (strictement), est définie ainsi : G= n ∏x i=1 n i

faible que la surpression dans la conduite, la canalisation, au voisinage du réservoir, va retrouver sa forme initiale. La diminution du diamètre de la conduite va chasser l’eau vers le réservoir à la vitesse Uo. De proche en proche se phénomène se produit et crée ainsi une onde de choc se déplaçant cette fois-ci vers la vanne. Dès que l’onde atteint la vanne, la conduite entière retrouve quasiment sa pression d’origine et sa vitesse initiale inversée. La vanne étant toujours fermée, la vitesse de l’eau

matrice suivante   N11 N12 · · · N1m  0 N22 · · · N2m    M = .  . . .. . . .  .  . . . 0 0 · · · Nmm Alors det M = i=1 det Nii Dans le cas particulier d’une matrice triangulaire supérieure ou d’une matrice diagonale le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux. Soit M = (αij ) une matrice carrée (n, n) (n > 0). On appelle mineur relatif à l’élément αij , le déterminant de la matrice carrée (n − 1, n − 1), Mij déduite de M en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne. On appelle

distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite de la derivation et la commutativite du produit. Elle est egalement n X positive, puisque (P P ) = (P (j) )2 (aj ). Il reste a demontrer qu'elle est de nie. Or : (P P ) = 0 ) n X j =0 j =0 (P (j) )2 (aj )

lorsque tout élément de F est un élément de E. On dit aussi que F est une partie de E ou un sous-ensemble de E. On note F ⊂ E (F est contenu dans E), mais aussi E ⊃ F (E contient F ). Plusieurs opérations sur les ensembles peuvent être définies : le produit cartésien d’ensembles noté ×, la réunion d’ensembles notée ∪, l’intersection d’ensemble notée ∩ et la différence de deux ensemble notée \. Nous allons découvrir ces opérations au fur et à mesure dans les applications. Les ensembles de nombres que

2 ω+π ? Réponse : m. – Combien égale 0 + 0 ? Réponse : 0 + 0 = θτ τ . – Quel animal est le plus doué dans le calcul de cot4 (a5 ) ? Réponse : Le coq, parce que cot(cot(cot(cot(aaaaa)))) ! – Plus sérieusement, combien fait, une fois développé, le produit (x − a)(x − b) · · · (x − z) ? Réponse : On trouve que ça fait 0 (Considérer l’antépénultième terme) ! 1.5 Superthéorèmes Voici une liste de théorèmes qui serviront dans la vie de tous les jours ! Merci les maths. ∗ ∗. Certains remarqueront

suite construite jusqu’a l’ordre n. On+1 ´tant dense dans E, e B(xn , rn ) ∩ On+1 n’est pas vide et on peut choisir xn+1 ∈ E et rn+1 < 1/(n + 1) tels que B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn /2) ∩ On+1 . On v´rifie alors facilement que la suite (xn )n∈N est de cauchy, donc qu’elle e converge car E est complet. Sa limite l est dans ∩n∈N On car pour tout n ∈ N, l ∈ B(xn , rn /2) ⊂ B(xn , rn ). 3 L’axiome du choix On ne peut rien d´montrer si on ne part pas d’une hypoth`se de d´part; depuis e e e Euclide

impropres . . . . . . . . . . . . . 6.3 Variables al´eatoires r´eelles `a densit´e . . . . . 6.4 Lois a` densit´e classiques . . . . . . . . . . . 6.4.1 Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Lois exponentielles . . . . . . . . . . 6.4.3 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Lois normales ou gaussiennes . . . . 6.4.5 Lois log-normales . . . . . . . . . . . 6.5 Esp´erance et variance des lois a` densit´e . . . 6.6 Tableau comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

question possède différentes réponses en fonction de l’époque à laquelle on se la pose. De nos jours, un ingénieur (du latin ingenium) est une personne exerçant des activités de conception, de direction de projets de réalisation et de mises en œuvre de produits, de systèmes ou de services impliquant des problèmes techniques complexes, ce qui suppose un ensemble de connaissances techniques d'une part, économiques, sociales et humaines d'autre part, reposant sur une solide culture scientifique. L’ingénieur