Produit de Cauchy

principe d’incertitude e e e de Heisenberg, donne une borne inf´rieure au produit ∆t.∆ν. e 36 UTM-ISMAG M1 MIMA40 C.Hassenforder Th´or`me. [Principe d’incertitude] Soit f un signal de moyenne temporelle et fr´quentielle e e e 1 ˆ nulles tel que f , t → tf (t) et ν → ν f (ν) soient dans L2 . Alors on a ∆t.∆ν ≥ . L’´galit´ e e 4π n’est v´rifi´e que si f est un signal gaussien. e e Preuve. On applique l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz ` φ1 : t → tf(t) et φ2 : t → f (t). On a alors : e e a 2

pistes que vous pourrez envisager de passer la question. Voici un catalogue non exhaustif des différentes méthodes classées par thème. 5 Algèbre A. Complexes. Polynômes 1. Nombres complexes La somme de deux nombres complexes conjugués Le produit de deux nombres complexes conjugués Pour linéariser et et est est 1. . , on utilise les formules d’Euler. Si on veut exprimer cosnθ ou sinnθ en fonction de cosθ et sinθ, on considère que et on utilise les formules de Moivre. Quelques résultats

Problèmes 119 Espaces préhilbertiens réels 129 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques 130 4.1.1 4.1.2 130 132 Généralités Interprétation matricielle 123 124 126 Rappels sur les espaces euclidiens 137 4.2.1 4.2.2 137 141 Produit scalaire Orthogonalité Table des matières 4.3 4.4 4.5 CHAPITRE 5 5.1 5.2 CHAPITRE 6 6.1 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 6.2 6.3 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien 146 4.3.1 4.3.2 146 153

(t) d t k n dt ψα,β k=0 n−1 k+1 n k n Aα,β k=0 n−1 dt 2 Aα,β k=0 1 2 k+1 k − n n = Aα,β 2n nβ−1 xn est 1. Le n 0 c) Rappelons que le rayon de convergence des deux s´ries enti`res e e n 0 nα−1 xn et produit de Cauchy de ces deux s´ries a pour rayon de convergence au moins 1. Donc pour x ∈ [0, 1[, e on a : +∞ +∞ Sα (x)Sβ (x) = n=0 +∞ nα−1 xn n=0 n nβ−1 xn xn = n=0 k=0 k α−1 (n − k)β−1 Remarquons que n k=0 k α−1 (n − k)β−1 = 0

n− 1 qui sont nuls et écrire que u(r)n = n−1∑ i=1 uiu (r−1) n−i 2. En posant u (r) 0 = 0 pour tout r ≥ 1 (et en particulier u0 = 0), la relation précédente d’écrit aussi ∀n ∈ N, u(r)n = n∑ i=0 uiu (r−1) n−i 10La suite u(r) est alors le produit de Cauchy des suites u et ur−1. Comme toutes les séries entières sont de rayon de convergence ≥ 1 > 0, le cours nous indique que ∀s ∈]− 1, 1[, ∑ n≥0 u(r)n sn = ∑ n≥0 uns n ∑ n≥0 u(r−1)n sn  Comme les termes d’indice 0 sont nuls, on trouve

1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Les variables aléatoires à valeurs entières

homog`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.4.2 R´solution de l’´quation avec second membre exponentielle-polynˆme e e o 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pour u j (z) ; d’autre j=1 j k part, par définition le point ak est régulier pour f (z) − uk (z) donc il l’est pour g. on peut donc prolonger g en une fonction analytique dans Ω tout entier, comme Ω est simplement connexe, le théorème de Cauchy donne g(z) dz = 0, γ d’où la formule. 4.2.2.1 Calcul pratique du résidu d’une fonction : Soit f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0 )n le développement de Laurent de f au voisinage de z0 . L’intégrale de f le long d’un lacet ne dépend donc que