Plan complexe

Exercice (2 points) Dans le plan complexe, déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que z + i = 2 . Exercice (4 points) I – On considère la fonction f de la variable complexe z définie par : f ( z ) = z 3 – 2 ( 3 + i )z 2 + 4 ( 1 + i 3 )z – 8i Vérifier que : f ( z ) = ( z – 2i ) ( z 2 – 2 3z + 4 ) Résoudre dans l’équation f ( z ) = 0 . II – Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère les trois complexes : z 1 = 3 – i ; z 2 = 3 + i

NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION ET DEFINITION INTRODUCTION Rappelons les inclusions des ensembles des nombres suivants : NC Z C ID C Q C R Considérons l’équation (E) : x2 + 1 = 0. Certaines équations comme (E) n’admettent pas de solution dans R, ce qui explique « l’insuffisance » de R. Le but de ce chapitre est de construire, un nouvel ensemble contenant IR dans lequel toute équation du 2nd degré admet au moins une solution. Imaginons l’existence d’un nombre i tel que : i2 = -1, l’équation

Bac S 2004 -Sujet national Suites - Géométrie et complexes – Probabilité - Équations différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2004/bac_s_national_2004.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 Épreuve : MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur Le

Exercice 1 (bac S, Polynésie 1998, 10 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) d’unité graphique 1cm. On considère les nombres complexes a = 3 +1 3 −1 +i et z0 = 6 + 6i d’image A0 . Pour tout 4 4 entier n non nul on désigne par An le point d’affixe zn = a n z0 . 1. Exprimer z1 et a 2 sous forme algébrique. Ecrire z1 sous forme exponentielle et montrer 1 iπ que a = e 6 . 2 2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a 2 , en déduire l’expression de z3 et z7 en

tangente T. Exercice 2 (7 points) – 1i  3 . 4 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct O ; u , v  (unité choisie : le centimètre). On pose a =   1. Calculer le module et un argument de a puis de a n avec n un entier naturel. Écrire a et a n sous forme exponentielle. 2. La définition d'une suite géométrique de nombres réels s'étend aux nombres complexes. On définit la suite géométrique  z n  de nombres complexes par z 0=8 et, pour tout n de ℕ z n1=a z n ; on note M

∈ R. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la r´ponse. e Une justification est attendue pour chaque r´ponse. e Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P. Proposition 2 La sph`re S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P. e Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite ∆ dont une repr´sentation param´trique est : e e   x = 1 − t′ y = −1 − 2t′ , t′ ∈ R.  z = t′ Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires

de Formation Ingénierie de Formation, les étapes • PHASE 0 : Établir une relation de partenariat avec le responsable ou l’équipe de direction PHASE 1 : Décrire l’entreprise PHASE 2 : Identifier les besoins en compétences PHASE 3 : Élaborer le plan de formation • • • PHASE 0 : Établir une relation de partenariat Il est primordial de créer un espace de dialogue le moins ambigu possible entre le consultant et l’interlocuteur client. En effet plusieurs ambiguïtés sont susceptibles de troubler

(a, b, c) d entiers naturels non nuls, tels que - = 2' + b2 + 2"' 4 a c 2. Déterminer tous les triplets 3. Thouver le plus petit réel k > a tel que (a+b+c)2 :::; k(a2+b2+c2) pour tout triplet (a, b, c) E ]R3. 4. Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer que soit Il + zl 2: 1, soit Il + z212: 1. 5. Un tournoi de ping-pong comporte 2n joueurs, n 2: 1. Pour la première ronde du tournoi on doit apparier les joueurs deux par deux, les n matchs étant joués simultanément. De combien

Un candidat sera reconnu apte s’il donne au moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu’un candidat répondant au hasard soit reconnu apte ? E XERCICE 2 4 points → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal O, u , v d’unité graphique 1 cm. On considère les nombres complexes zA = 5 − 5i et zB de module égal à 5 2 et d’ar7π gument égal à − , d’images respectives A et B. 12 1. a. Placer le point A. b. Calculer le module et un argument de zA . 2. Soit la fonction f de C

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati` eres 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´ eels et complexes Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . Densit´e des rationnels et irrationnels Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´erateurs logiques 2.2 Quantificateurs . . . . . .