Sujet du baccalauréat S Centres étrangers juin 2012
EXERCICE 1 4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. − − → → − → On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE . 2 3 1 On considère lespoints I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à 3 3 4 l’intervalle [0 ; 1]. E H

F

G

A

D

B Les parties A et B sont indépendantes. Partie A

C

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique   x = 3 +t a− 3   4 4 , t ∈R  y =t   z = 1−t

1 3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = . 4

Partie B 1 Dans la suite de l’exercice, on pose a = . 4 1 ; 1; 0 . Le point L a donc pour coordonnées 4 1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. 2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

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E J F K G

H

N M A L B C I Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N. − (a) Prouver que le vecteur → de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). n (b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z − 11 = 0. (c) En déduire les coordonnées des points M et N D

EXERCICE 2
On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par :
1

5 points

In = 1.
2

0

x n ex dx.

2

1 2 Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g . 2 (b) En déduire la valeur de I 1 . (c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a : 1 n +1 I n+2 = e − In . 2 2 (d) Calculer I 3 et I 5 .

(a)