Plan complexe

FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES 1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS. A) Introduction. Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème

(3) puis(f-1 )'5+3. d) Expliciter f-1 x pour tout x ∈J. Exercice 4 : 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé d’unité graphique 1 cm 1. Pour tout nombre complexe z on pose. a. Calculer P (−3). b. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que : P (Z) = (Z+3) ( a Z 2 +b Z +c) c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : . 2. Soit I, A, B et C les points d’affixes respectives :  ;  ; et Soit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques

Bac S 1999 - INDE - PONDICHÉRY Exercices : complexe, arithmétique, barycentre – Problème : fonction exponentielle Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_1999/bac_s_inde_1999.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Session 1999 Épreuve : MATHÉMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ L'utilisation d’une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème

Enseignant : Ghadhab Lassad Exercice N°1 : 3 points L’espace ξ est muni d’un repère orthonormé de sens direct R = (O, i , j , k ) . Soit A(1,1,1) ; B (2,0,−1) ; C (−1,2,−1) et E (2,−1,3) quatre points de ξ . 1) Montrer que A , B et C définissent un plan P. 2) Les vecteurs AB , AC et AE sont-ils coplanaires ? que peut-on déduire pour le point E ? 1 + m    3) Soit ∆ la droite qui passe par E et de vecteur directeur u  0   3m    Déterminer la valeur de m pour que ∆ soit strictement parallèle

E 0 cos ωt et P = P0 cos(ωt − ϕ) avec P0 = ε 0 χ e E 0 1°) Montrer qu'en notation complexe E et D sont liées par D = ε 0 ε r E . On pose ε r = ε1 − jε 2 = ε r e − jδ Exprimer ε1 et ε 2 , puis tan gδ en fonction de χ e et ϕ . 2°) Un condensateur plan contenant la lame diélectrique précédente est alimenté par une différence de potentiel sinusoïdal V = V0 cos ωt . La capacité de ce condensateur est, en notation complexe C = ε r C 0 avec C0 réel a) Calculer la puissance moyenne dissipée Ƅm dans ce

organisée de connaissances 1. Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels. Soit z’ un nombre complexe tel que z’ = a’ + b’i où a’ et b’ sont deux nombres réels. z × z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + iab’ + iba’ – bb’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) Donc z × z’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) z × z’ = (a – ib)(a’ – ib’) = aa’ – iab’ – iba’ – bb’ = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) Donc pour tous nombres complexes z et z’, z × z’ = z × z’ . 2. Démontrons par récurrence

pratiques et méthodologiques, relatives à l’étude de ce qui est reconnu comme trop complexe pour pouvoir être abordé de façon réductionniste, et qui pose des problèmes de frontières, de relations internes et externes, de structure, de lois ou de propriétés émergentes caractérisant le système comme tel, ou des problèmes de mode d’observation, de représentation, de modélisation, ou de simulation d’une totalité complexe ». La systémique : un savoir La systémique fait appel à plusieurs concepts dont

− → − → − → − On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur n = a ı + b  + c k soit différent du vecteur nul. On appelle P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0. → − → − Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le vecteur n est −−→ orthogonal à tout vecteur AB où A et B sont deux points quelconques du plan P . Exercice no 2 Question de cours (Polynésie, septembre 2011 Partie A Question de cours Soit I un intervalle de R. Soient u et v deux fonctions

LES NOMBRES COMPLEXES Les nombres sont des objets abstraits créés par l’homme : création des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombre complexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie