Plan complexe

´ Nombres complexes, trigonometrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´trie e Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . I.1 D´finition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e I.2 Notation cart´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . e I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle complexe . . . . .

Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse. → → − − Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, u , v . Soit z un nombre complexe de la forme x + iy, où x et y sont des réels. 1. Soit z le nombre complexe d’affixe (1 + i)4 . L’écriture exponentielle de z est : a. 2eiπ b. 4eiπ c. 2ei 4 d. 4e π iπ 4 2. L’ensemble des points M du plan d’affixe z = x +iy tels que |z −1+i| = a pour équation : 3−i a. (x − 1)2 + (y + 1)2

01. Les nombres complexes 1 1.1 Introduction Construction de C En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments

Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´, nous utiliserons les symboles suivants : e 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a E”. ` • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´c´dent, le symbole d’inclusion sert e e uniquement a comparer des ensembles ; ainsi la propri´t´ x ∈ E s’´crit ´galement

sur par . : : : : EXERCICE 2 : On considère les trois nombres complexes : On appelle M1, M2, M3 leurs images respectives dans le plan complexe (P) rapporté au repère orthonormé . 1) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z1 et de z3. 2) Placer les points M1, M2, M3 dans le plan (P) (utiliser la feuille annexe). 3) a) Calculer sous forme trigonométrique les nombres complexes : Riadh ZAGHOUANI L.S.Ahmed NOUREDDINE SOUSSE Terminal Sciences Techniques

B(−6 ; 2 ; 1). Le plan P admet pour équation cartésienne x + 2y + 2z = 5. −→ −→ − − 1. L’ensemble des points M de l’espace tels que 4MA − MB = 2 est : a. un plan de l’espace b. une sphère c. l’ensemble vide. 2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont : 11 1 1 1 5 8 1 7 7 a. ; ; ; ; ;− ; b. c. . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. La sphère de centre B et de rayon 1 : a. coupe le plan P suivant un cercle ; b. est tangente au plan P ; c. ne coupe pas le plan P . 4. On considère

copie). 2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU ) et de la droite (SC ). Montrer que les droites (UV ) et (BC ) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie). 5 1 ;− ;0 . 6 6 Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUV E . 3. Soit K le point de coordonnées Partie B Dans cette partie, on admet que l’aire du quadrilatère AUV E est 5 43 . 18 2 ;1 . 3 Vérifier que le plan (E AU ) a pour équation 3x − 3y + 5z − 3 =

Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement obligatoire Nombres complexes Frédéric Demoulin1, Olivier Hervé2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini3 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr ol.herve (chez) laposte.net 3 gilles.costantini (chez) bacamaths.net 2 Annales Terminale S Nombres complexes Tableau récapitulatif des exercices ⋆ indique que cette notion a été abordée dans l’exercice N° Lieu 1 2 3 4 5 6 7 8

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de 1999 à 2005 Tapuscrit : D ENIS V ERGÈS No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Lieu et date Amérique du Nord juin 2005 Antilles juin 2005 Asie juin 2005 Centres étrangers juin 2005 France juin 2005 Liban juin 2005 La Réunion septembre 2004 Nlle–Calédonie nov. 2004 Polynésie septembre 2004 Antilles septembre 2004 Amérique du Nord mai 2004 Antilles juin

degré ; forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Description des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Représentation géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Conjugaison . . . . . . . . . . . . .