Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES
1.1 Introduction

Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´, nous utiliserons les symboles suivants : e 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a E”. ` • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´c´dent, le symbole d’inclusion sert e e uniquement a comparer des ensembles ; ainsi la propri´t´ x ∈ E s’´crit ´galement ` ee e e {x} ⊂ E, o` {x} d´signe le sous-ensemble de E ne contenant que l’´l´ment x. u e ee • ∅ : ensemble vide. • ∩ : intersection. • ∪ : r´union. e 2. Connecteurs binaires • =⇒ : implication ; si P et Q sont deux assertions, P =⇒ Q est une nouvelle assertion, qui se lit :”P implique Q”. • ⇐⇒ : ´quivalence ; si P et Q sont deux assertions, P ⇐⇒ Q est une nouvelle e assertion, qui se lit :”P ´quivalente a Q”. La distinction entre cette notion et celle e ` cit´e ci-dessus ´tant une des bases du raisonnement math´matique, il faudra ˆtre e e e e extrˆmement attentif a l’emploi de l’un ou l’autre symbole. e ` 3. Quantificateurs • ∀ : pour tout ; ∀x ∈ E . . . se lit :“Pour tout x appartenant a E. . . ”. ` • ∃ : il existe ; ∃x ∈ E . . . se lit :“Il existe x appartenant a E. . . ”. ` Nous nous bornerons ici a employer les symboles ci-dessus comme de simples notations. Pour ` leur utilisation plus pouss´e, et pour les techniques de d´monstration associ´es, nous renvoyons e e e le lecteur au module UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´viations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆ dans une phrase en langage courant. e ıtre Pour caract´riser les ´l´ments d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) : e ee | qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ .

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1.2

Rappels

L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui : • Contient tous les nombres r´els e • Est muni d’une addition et