Parallélogramme

y y + = 4 y y y ( ) ( ) 3  D B D D  D    = yE =  2  2 2 5. Déterminer, en vous appuyant sur les éléments des questions 2, 3 et 4, la nature du quadrilatère ABCD. Comme ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu E ; c’est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux ( AB = BC ) ; c’est un losange et un angle droit en B (ABC est rectangle en B) ; c’est un carré. Le quadrilatère ABCD est un carré. 1 6. On considère le point L ( ; 3). Indiquer une méthode (non graphique) permettant

( − 3 ). 4 − 1 , 5 .( − 5 ) = 4 , 5 7 , 5    V3 ∧ V2 = −V2 ∧ V3 Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Application : La norme produit vectoriel sont les vecteurs V1 ∧ V2 fournit une mesure de la surface du parallélogramme dont les côtés V1 ,V2 . V1 ∧ V2 = S12 ( ) . Le produit mixte V1 • V2 ∧ V3 = 0 . r r r r r V1 ,V2 et V3 se trouvent dans un même plan. 2i − 3i − 5i 2i 31,5i r  r  r  r  r  g. V1 • V2 ∧ V3 = − j • 1,5 j ∧ 4

est[4] : 2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right). Ces méthodes sont résumées dans le tableau ci-dessous. Périmètre de polygones Polygone Formule Variables Triangle a+b+c\; a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle. Parallélogramme 2(a+b)\; a et b sont les longueurs de deux côtés consécutifs. Polygone équilatéral n\cdot a\; n est le nombre de côtés et a la longueur de chaque côté. Polygone quelconque a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i} où

(fig. 9.8. à droite). On contrôlera que PC′ = CB. Fig. 9.8. : Tracé d’une parallèle  Parallélogramme Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. On peut utiliser ce principe et construire le point D au milieu de l’alignement CA (fig. 9.9.). On construit ensuite le point E en prolongeant DB (DB = DE). La droite CE est parallèle à AB puisque ABCE est un parallélogramme. Ceci peut aussi être fait à partir de points quelconques sur l’alignement AB. Le contrôle est effectué

construction à l’aide du compas alors que le support papier était là pour suggérer trois démarches distinctes s’appuyant sur trois propriétés du losange: figure 1 : Un losange possède quatre côtés isométriques (ou égaux) figure 2: un losange est un parallélogramme; il suffit que deux côtés consécutifs soient égaux figure 3: un losange possède deux diagonales qui se coupent à angle droit et en leur milieu. Cette démarche de l’élève provient de la conjonction de deux variables didactiques; l’une concernant

Quelle est alors la position relative des points A, B. C, D ? c) On suppose que I et J sont distincts. Caractériser la position relative des points A, B, C, D (tels que trois d'entre eux ne soient pas alignés) pour que le quadrilatère IJKL soit un parallélogramme . Faire une construction dans ce cas en complétant la figure 2 de l'annexe I. d) Est-il possible de trouver une position relative de A, B, C, D pour que IJKL soit un rectangle ? Annales 2002 COPIRELEM Page 11 Académies d’Aix-Marseille

http://collmathage.fr 3 LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ème INFO Py1 · Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l’hypoténuse : c’est le côté où il n’y a pas d’angle droit. · Le théorème de Pythagore dit : B « Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » C · Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A : BC 2 = AB 2 + AC 2 A • Calcule la longueur AC, puis EC, et leurs arrondis au mm près. E

ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) EXERCICE 1. 1.  On donne A = ( ( Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 2.  On donne : B = ( 4 + 6 C = (5 + )2 D = ( + ) ( ( ) a) Ecrire B sous la forme b où b est un nombre entier. b) Ecrire C sous la forme e + f avec e et f entiers. c) Montrer que D est un nombre entier. EXERCICE 2. On donne E = (2x ( 3)(x + 2) ( 5(2x ( 3) 1. Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer

Sujet A - symétrie centrale et repère I. Dessine, au crayon, trois points A, B et O qui ne soient pas alignés ; puis construis, en couleur, C et D les symétriques rehfdrzezeeeeeeeeeeeeeeeespectifs de A et B par rapport au centre O. Trace en couleur le quadrilatère ABCD. Que peuxtu dire de ses côtés [AB] et [CD], et de ses diagonales ? II. Trace au crayon le carré EFGH de côté 3 cm, puis la demi-droite [EF). Sur [EF) place le point O à 5 cm de E et construis ensuite E’F’G’H’ la figure symétrique de

Devoir surveillé nº3 – 1S1 durée: une heure, calculatrice autorisée (2 points) Exercice 1 On considère (O ; colinéaires. a. b.   i, j ) un repère du plan. Dans chaque cas, dire si les vecteurs  u et  v sont   2 7    10 15  u ;  et v  ;   . 4   33 22   7   u (5 6 ; 75) et v (2 ; 2) . (4 points) Exercice 2  Dans le repère (O ; i ,  u  j ), on considère les vecteurs : (10 ; –  15) et  7 v  2 ;