Normal distribution

Types Bruit d'amplification Origine : dérive thermique des composants Modélisation : bruit additif à distribution normale Bruit « Poivre et sel » (impulsionnel) Origine : pixels défectueux, erreurs de CAN, ... Modélisation : remplacement de n % pixels par 0 ou 255 Bruit de quantification Origine : quantification des valeurs en niveaux discrets Modélisation : variable aléatoire à distribution uniforme Licence 3 ESEA, Option Robotique / Vision, semaine 4 17 Introduction Filtrage par convolution

→ − λ1 ln(1 − x). D’où l’algorithme (car U et 1 − U ont la même loi) : U = rand(1); X = −log(U )/lambda; 3. Méthode du rejet Il y en a plusieurs versions. La plus simple consiste à donner une méthode pour simuler des points suivant une distribution uniforme sur un borélien de R2 de mesure finie. 3. Méthode du rejet 3 Théorème 2. Méthode du rejet 1 Soient B ⊂ A deux boréliens de R2 de mesure de Lebesgue finies 0 < λ(B) ≤ λ(A). Soit (Xn ) une suite de vecteurs aléatoires indépendants

- distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire est la dérivée de la fonction de répartition ( si elle existe) : dFX fX = dx UCL Devolder 6 1. Probabilités - exemple 1 :variable aléatoire normale ( ou

marge d’erreur ne dépasse pas 0.005 g/l RESOLUTION : a) Variable normale car population normale  intervalle de confiance b) À partir d’un échantillon aléatoire simple de 20 observations, on estime la moyenne d’une population normale avec une erreur de 3 unités sur un degré de confiance Combien d’observations supplémentaires faudrait-il effectuer pour ramener l’erreur à 2 unités ? RESOLUTION : Population normale  variable normale  intervalle de confiance : Or donc Pour avoir Il faudrait donc

comme une moyenne communément admise, et donc devenant la référence : « Qui est conforme à une moyenne considérée comme une norme ». Il est bien évident que la normalité ne peut se restreindre à cette seule définition. En effet, l’emploi des mots « normal » ou « normalement » sert généralement à exprimer un point de vue communément admis, une habitude ou son accord tacite. Le quiproquo possible lors de ce rapport entre individus différents dans leurs expériences et leurs cultures dénature l’expression

...... 2.2.5.3 Tendance vers la loi binomiale ............................. 2.2.6 Lois géométrique, de Pascal, binomiale négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 18 19 20 20 21 21 22 22 25 27 28 30 30 30 31 33 36 36 36 37 38 Distributions continues usuelles .................................... 38 2.3.1 1.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.4 2.1.1.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.3 Variables continues

univariées 1 Variables qualitatives Les variables qualitatives comportent un nombre de modalités mutuellement exclusives et non mesurables. On les décrit à l’aide du tableau de distribution des fréquences et du graphique (histogramme ou en barres). 1 Tableau de distribution des fréquences Le tableau de distribution des fréquences se construit de la manière suivante : |Modalités de la variable |Effectifs |Fréquences | |qualitative |

moyenne (en écarts-types) 10–12 2007 2008 2009 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 1. LES RENDEMENTS JOURNALIERS de l’indice Dow Jones en 2007 et 2008 (a) ont une distribution statistique (les points dans b) qui est plus proche d’une loi « à queues épaisses », telle la loi de Student de paramètre 3 (en bleu), que d’une loi gaussienne (en rouge). Les trois distributions représentées ont le même écart-type et la même moyenne. molécules environnantes. Dans les années 1970, en modifiant légèrement le modèle de Bachelier

est continue).[1] La loi de probabilité décrit l'ensemble des valeurs qu'une variable aléatoire peut atteindre et la probabilité que la valeur de la variable aléatoire soit dans n'importe quel sous ensemble (mesurable) de cet ensemble. La Loi normale, souvent appelée la "courbe en cloche" Quand la variable aléatoire prend ses valeurs dans la loi de probabilité est complètement décrite par sa fonction de répartition, dont la valeur en chaque réel x est la probabilité que la variable aléatoire

3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN – SERIE 06 ANNEE 2010 – 2011 Sommaire Chapitre I Les lois de la distribution statistique : les modèles continues I. La loi normale Laplace-Gauss A. Définition de la loi normale B. Loi normale réduite centrée C. Détermination pratique des probabilités : Usage des tables statistiques D. Conditions d’application 1. Variable aléatoire normale 2. Théorème central limite Loi du Khi² A. Définition B. Tables statistiques C. Somme du Khi² indépendantes Loi de