Multiplicateur de Lagrange

1]′ . Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : ∂L λ1 −1 λ2 = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 (2.1) En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω′ µ ω′ e = µp ⇔ =1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔

libre, obtenu à partir des conditions du premier ordre (différentielles des 2 variables de commande égales à 0), il faut tout d’abord déterminer le Lagrangien (L) de ce programme qui intègre la contrainte égalité précédente via un coefficient de Lagrange λ. Le programme et le Lagrangien s’écrivent ainsi : Programme : Max U q1 , q 2   q , q  2  1 ( ) Lagrangien : L q1 , q 2 , λ = U q1, q 2 + λ R - p1q1 − p 2 q 2 ( ) ( ) ( ) Dans le Lagrangien, la contrainte égalité

devra d’abord une recherche d’informations. Problème de maximisation : On a le problème suivant : max(x1,x2,..,xk)Ux1,x2,…,xk Résoudre ce programme P équivaut à maximiser la fonction de Lagrange. λ≥0/ ∂L∂xi=0∂L∂λ=0 Lx1,…,xk,λ=Ux1,…,xk+λ(Ω-i=1kpixi) On note λ le multiplicateur de Lagrange. Résolution : ∂L∂x1=∂U∂x1-λp1=0∂L∂x2=∂U∂x2-λp2=0...∂L∂xk=∂U∂xk-λpk=0∂L∂λ=Ω-i=1kxipi=0 ⟺ ∂U∂x1 p1=∂U∂x2p2=…=∂U∂xk pk ⟺ Um1p1=Um2p2=…=Umkpk On vérifie si le problème est concave ∂L

de l’estimation ε , et on les met au carré (ε ). =α +∑ h = α +∑ α ε = α +α ( )ε Pour cela, on utilise le corrélogramme qui représente la FAC et la FACP de ε (on prend les retards significatifs). • On calcule la statistique du multiplicateur de Lagrange, LM = n*R² n = nombre d’observations servant au calcul de la régression. R² = coefficient de détermination de la régression de ε • Mais pour effectuer cette régression on doit tout d’abord déterminer le retard p. α ε On compare

contrainte pi xi = R. On montre en mathématiques que la maximisation de la fonction S(x) sous la contrainte pi xi = R équivaut à la maximisation de la fonction L(,x) = S(x) + [Rpi xi] où  est un scalaire non négatif.  est appelé multiplicateur de Lagrange et la fonction L est dite Lagrangien. Si le point correspondant à l'utilité maximale, x*, est intérieur à l'ensemble des consommations possibles (c’est à dire que toutes ses composantes sont strictement positives), une condition nécessaire

Grâce à w , ce problème peut être reformulé sous la forme maxw s.c. w T Σ+ w w T Σ− w = 1 où Σ+ et Σ− sont les matrices de covariance des classes positives et négatives. ◮ Les conditions d’optimalité donnent (Σ− )−1 Σ+ w = λw où λ est un multiplicateur de Lagrange. Ce qui est un problème de valeurs propres généralisées. R. Flamary (U. Rouen) 35 / 53 Traitement du signal, extraction de caractéristique Filtrage Common Spatial Patterns (3) Matrice P ◮ Les filtres spatiaux sont les vecteurs propres

n’y a que deux biens dans le panier. max . = ∗ Panier optimal ; ∗ ; + 16 Professeur : Mme Sarselli = − =0 D’où le panier optimal ∗ ; − ∗ La méthode du multiplicateur de Lagrange consiste à introduire une fonction ℒ appelée le Lagrangien et un multiplicateur associé à la contrainte budgétaire. À l’équilibre, la contrainte + est saturée = Conditions du 1er ordre, annulation des dérivées partielles 1ères. ℒ ℒ =0 =0 = = = = + = + 1, on peut écrire ; =

..., λp , µ1 , µ2 , ..., µq s’appellent les mutiplicateurs de Kunh et Tucker du problème d’optimisation (Pac ). Lorsqu’il n’y a pas de contraintes d’inégalité (q=0), les multiplicateurs s’appellent "multiplicateurs de Lagrange". Le multiplicateur associé à une contrainte d’inégalité doit être positif ou nul, un multiplicateur associé à une contrainte d’égalité est de signe quelconque. 3.4.2 Conditions suffisantes : la convexité Le théorème de KKT fournit des conditions nécessaires d’optimalité

= [1 1 . . . 1]′. Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = !′! + 1(μp − !′μ) + 2(1 − !′e) avec 1 et 2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : @L @! = 2! − 1μ − 2e = 0 , ! = 1 2 −1μ + 2 2 −1e (2.1) En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : !′μ = μp !′e = 1 , μ′! = μp e′! = 1 , 1μ′−1μ + 2μ′−1e = 2μp

. . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1.1 Test de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1.2 Tests du rapport des maxima de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.3 Test du score ou du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2 Tests de spécification des modèles dichotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A Annexes .