Multiplicateur de Lagrange

préférences de Cobb-Douglas  Soit la fonction d’utilité . Prenons le logarithme (transformation monotone) : Cherchons les fonctions de demande pour sous la contrainte et . Le problème à résoudre est . On procède avec la méthode de Lagrange. Conditions de 1er ordre : Taralla – Microéconomie|2010-2011 10 Julien Mahin, David pas certifié 100% sans faute ! Si vous avez des doutes, contactez-nous  Attention ! Le document n’est En résolvant, on trouve, En posant , on a

[pic] Variance du titre i. Le portefeuille efficient de rentabilité espérée E* s’obtient par la minimisation de [pic] sous les deux contraintes [pic] et [pic] Nous utiliserons alors le multiplicateur de Lagrange, donc pour chaque valeur de E*, on minimisera l’expression de Lagrange suivante : [pic][pic][pic] [4.2] La résolution de ce problème passe par l’annulation des drivées partielles de Z par rapport au différents [pic] et par rapport aux[pic], ce qui nous

contrainte en utilisant une transformation proche du Lagrangien : le Hamiltonien. On construit une nouvelle fonction objectif qui int`gre aussi la contrainte mais en la multipliant e par un prix implicite qui est similaire au multiplicateur de Lagrange. Mais ce multiplicateur varie avec le temps : µt . On obtient alors le Hamiltonien associ´ a ce probl` me : e` e     Ht = u (ct ) e−θt + µt ·  f (kt ) − ct − nkt  ˙ k (5.10) La variable µ est le prix implicite associ´ a la variable d’´

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 64 65 66 68 69 70 70 70 71 72 72 73 73 75 76 7 Th´ eorie du Portefeuille de Markowitz 7.1 La notion d’Utilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Th´eorie du portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . 7.3.1 Cas sans taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Fronti`ere de Markowitz . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Avec un actif sans risque, `a

Nous pouvons procéder à ce test soit à l’aide d’un test de Fisher classique de nullité de coefficients : H0 : [pic][pic] Si on refuse l’hypothèse nulle, alors il existe un risque d’hétéroscédasticité. Soit recourir à la statistique LM (Multiplicateur de Lagrange) qui est distribuée comme un Khi deux à p = 2K degrés de liberté (autant que de coefficients que nous estimons .Hormis le terme constant) Règle de décision - Pour le test de fisher : [pic](fisher empirique) >[pic], on rejette l’hypothèse

|7.9807 |0.157 | L’homoscédasticité des résidus peut également se vérifier à l’aide du test ARCH (Auto Regressive Conditionnal Heteroscedasticity). On procède au test en utilisant indifféremment la statistique de Fisher ou le multiplicateur de Lagrange pour des nombres de retards, p, de plus en plus faibles. Le Test ARCH pour le Processus ARMA (0,2) : |ARCH Test: | |F-statistic |0.190081 | Probability

rentabilité, soit E*, on cherche les valeurs de Xi qui minimisent la variance et on a résoudre le programme quadratique suivant : Min [pic] Sous les contraintes : [pic] [pic] La solution de ce problème est obtenue par la méthode des multiplicateurs de lagrange et les conditions nécessaires sont obtenues en annulant les dérivés partielles du lagrangien. [pic] On calcule les dérivés de Z par rapports à X1 …Xn ; et par rapport à [pic] : [pic] [pic] [pic] [pic] Enfin, on va obtenir

pondérer chacune d’entre elles par une variable dual [25]: Figure II.2 : hyperplans canoniques et marge maximale Chapitre II : Classifieurs SVM et Réseaux de Neurones 43 Les variables duales intervenant dans le Lagrangien sont appelées multiplicateurs de Lagrange. Notons que doit être minimisé par rapport aux variables primales et b et maximisé par rapport aux variables duales . Le point selle (minimal par rapport à une variable, maximal par rapport à l’autre) doit donc satisfaire les

fonction de coût (la fonction contrainte) est la dépense totale du producteur, et où les prix des facteurs de production Pk et Pt sont constants. L’optimum du producteur (minimiser le coût se contrainte de production) à partir de la méthode du multiplicateur de la grange se présente comme suit : L = K.PK + T.PT + λ ( P - f (K,T)) 𝐿′𝑘 = 𝑃𝑘 − 𝜆 𝑑𝑓 𝑑𝑘 = 0 => PK = λ .PmK => λ = PK / PmK (1) 𝐿′𝑡 = 𝑃𝑡

, on maximise L : L(x, λ, µ1 , ..., µn ) = U (x) − λ (p · x − R) + 11 µ i xi o` λ, µ1 , ..., µn sont des nombres positifs appel´s multiplicateurs de Lagrange u e associ´s a chacune des contraintes. e ` Intuition : on maximise l’utilit´ en ajoutant une p´nalit´ a ne pas satisfaire e e e` la contrainte. Une fois le programme r´solu, le multiplicateur de Lagrange e correspond a l’utilit´ marginale procur´e par le d´sserrement de la contrainte. ` e e e e e Th´or`me de Kuhn et Tucker : – un vecteur