Multiplicateur de Lagrange

= r. alors n Rϕˆ − r Test du multiplicateur de Lagrange Pour tester une hypothèse au moyen d’un test du multiplicateur de Lagrange (test LM, Lagrange Multiplier), il suffit d’estimer le modèle contraint, c’est-à-dire sous l’hypothèse H0 . Le principe du test est le suivant : si H0 est vraie et qu’on maximise la vraisemblance en imposant H0 , les contraintes représentées par cette hypothèse induisent une faible perte de vraisemblance : les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes imposées

dit que (a, b) est un point parabolique. Th´or`me 74 e e Extrema li´s: la r`gle des multiplicateurs de Lagrange: Soit f : U ⊂ Rn −→ R et fi : U −→ R, 1 ≤ i ≤ p e e de classe C 1 . Soit V = {x ∈ U tel que fi = 0, ∀1 ≤ i ≤ p}. Si f|V admet un extremum local en un point a ∈ V, alors p −− −→ −− −→ gradfi (a). ∃(λi )1≤i≤p tel que gradf(a) = i=1 Les coefficients (λi )1≤i≤p s’appellent les multiplicateurs de Lagrange au point a. R´sum´s de cours: MP-PSI-TSI e e u 17.3 Fonctions de classe C k , o`

profit total égal, il faudra donc demander un prix de 32 (1500$) pour chaque heure de temps louée à l’usine 2. De manière générale, la solution optimale du dual est donnée par l’opposé des coûts réduits des variables d’écart (aussi appelés multiplicateurs optimaux, ou shadow prices en anglais). Dans notre exemple: y1 = 0, y2 = 3 , y3 = 1. 2 Le prix de la variable y1 est fixé à 0: – Wyndor Glass n’exige rien pour une heure louée à l’usine 1, ce qui se justifie par le fait qu’il lui reste

Lagrangien. Le Lagrangien est une fonction qui rassemble la fonction objectif (celle que l’on cherche à maximiser ou minimiser) et la contrainte. L (variables de contrôle, λ) = Fonction objectif + λ * (contrainte budgétaire saturée) λ : multiplicateur de Lagrange Contrainte budgétaire saturée : on utilise la totalité du revenu L(x 1,…,x n; λ) = U (x 1,…,x n) + λ [ R – (P 1 x 1 +…+P n x n )] Conditions du premier ordre: annulation des dérivées premières. δL/δx 1 = 0 : δL/δx n = 0 δL/δλ = 0 => =>

..., µm et λ1 , ..., λr non tous égaux à zéro tels que : r µ0 f (x∗ ) + i∈I µi gi (x∗ ) + i=1 λi hi (x∗ ) = 0 µ0 , µi ≥ 0, ∀i ∈ I. Remarque : les scalaires µi et λi sont appelés multiplicateurs de Lagrange et la fonction définie ci-dessus est parfois appelée fonction de Lagrange. La condition d’optimalité de Kuhn-Tucker Un inconvénient posé par la condition de Fritz John est le suivant : si µ0 est égal à zéro, alors la condition ne comporte aucune information relative au gradient

unique solution (au moins en dimension finie !), que l’on peut calculer à l’aide de la technique des multiplicateurs de Lagrange. Le résultat important 20 est que l’on obtient le résultat suivant, à savoir que le comportement du système est système est régis par la statistique de Gibbs-Boltzmann : ∀E ∈ (En ) : P (Energie = E) = e−β(E−S(E) T ) Z 1 avec β = kT (β est le multiplicateur de Lagrange associé à U ), où k est le nombre de Boltzmann, T la température du système (qui déterminée par l’énergie

xk+1 . k=0 On cherche alors n−1 P = [pi,j ] ∈ pi,j ∈ (0, 1) argmax log pxk ,xk+1 = log pi,j Nni,j , i,j∈E k=0 pi,j = 1 pour tout i. avec la constrainte d’avoir une matrice stochastique, i.e. j∈E En posant λi le multiplicateur de Lagrange associé,   log L − i∈E λi   = 0. j∈Epi,j −1 Pour tout iE, on obtient que λi = Nni,· , et donc pi,j = Nni,j Nni,· = estimateur empirique. D’après le théorème ergodique, 1 1 i,· Nn = n n n−1 k=0

., xn , P = [pi,j ]) = λ(x0 ) × On cherche alors n−1 pxk ,xk+1 . P = [pi,j ] ∈ pi,j ∈ (0, 1) argmax log pxk ,xk+1 = k=0 i,j∈E i,j log pi,j Nn , avec la constrainte d’avoir une matrice stochastique, i.e. En posant λi le multiplicateur de Lagrange associé,   log L − i∈E i,· Pour tout iE, on obtient que λi = Nn , et donc j∈E pi,j = 1 pour tout i. λi  j∈Epi,j −1  = 0. pi,j = D’après le théorème ergodique, i,j Nn i,· Nn = estimateur empirique. 1 1 i,· Nn

Douglas - TMS - Elasticités Leçon 4 : Optimisation sous contrainte – Lagrangien page 13 1 méthode du Lagrangien – chemin d’expansion 2 vecteur gradient perpendiculaire à la ligne de niveau 3 multiplicateur de Lagrange = TMS par rapport au niveau de contrainte Partie 2 : CALCUL MATRICIEL Leçon 5 : Calcul matriciel – Exemples d’applications à la gestion page 16 1 produit de matrices , présentation matricielle de problèmes linéaires

neutralit´ de la dette publique a long e e e ` terme (multiplicateur fiscal et budg´taire tendant vers z´ro). e e La conception keyn´sienne de l’endettement e Selon la conception keyn´sienne, l’endettement en g´n´ral n’entraˆ pas e e e ıne de coˆt ni pour les g´n´rations pr´sentes ni pour les g´n´rations futures du u e e e e e fait des investissements nouveaux qu’il g´n`re. La d´marche globale et les e e e effets multiplicateur et acc´l´rateur sont des caract´ristiques fondamentales