Multiplicateur de Lagrange

cas hilbertien permet notamment de d´montrer e e e e le lemme de Farkas-Minkowski, qui est a la base des r´sultats en optimisation avec ` e contraintes d’in´galit´. Les coefficients λi issus du th´or`me sont alors appel´s multie e e e e plicateurs de Lagrange. Th´or`me 1.5.7 – Soit H un espace de Hilbert, a1 , · · · ak ∈ H, fix´s. On note e e e K = {x ∈ H, (ai , x) ≤ 0, 1 ≤ i ≤ k}. Soit p ∈ H v´rifiant : ∀x ∈ K, (p, x) ≥ 0. Aors e k ∃λ1 , · · · λk ≥ 0, tels que p = − i=1 λi a i . 33 D´monstration

Maximiser (A1) Sous contrainte : Elle peut être obtenue en minimisant la fonction lagrangienne suivante : Respectivement, est le multiplicateur de Lagrange, est le coefficient de corrélation entre et. En utilisant cette approche, la variance minimale peut être aussi calculée pour tout niveau de rendement espéré donné. En ajoutant une nouvelle condition à l’équation A1 qui porte sur la valeur

1]′ . Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : ∂L λ1 −1 λ2 = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 (2.1) En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω′ µ ω′ e = µp ⇔ =1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔

. . . . . . . . . . . 2.6.4 Les généralisations des modèles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Les tests de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Les tests du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Séries temporelles : théorie et applications Arthur CHARPENTIER 2.7.2 Le test du CU SUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Le test BDS .

satisfaire….). Mathématiquement, le problème se pose sous la forme d‘une optimisation d‘une fonction à plusieurs variables (f(x,y)) sous la contrainte d‘une autre fonction (g(x,y)). Cette méthode d‘optimisation fait appel à ce qu‘on appelle le multiplicateur de Lagrange ( ). La fonction Lagrangienne notée L(x,y, ) est définie ainsi : L(x,y, ) = Fonction à optimiser + ( contrainte annulée) L(x,y, ) = f(x,y) + (G(x,y)) G(x,y) n‘est autre qu‘une reformulation de la contrainte tel que g(x,y)= 0 Le Lagrangien

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Approximation par polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . 3.3.2 Stabilité de l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . 3.3.3 Interpolation aux noeuds de Chebyshev . . . . . . . . . 3.3.4 Interpolation trigonométrique et FFT . . . . . . . . . . . 3.4 Interpolation linéaire par morceaux

TUCKER). Des conditions n´cessaires e pour que x, solution r´alisable de PDif o` la condition de qualification des conˆ e u traintes est satisfaite, soit solution optimale de PDif sont qu’il existe un vecteur u= u1 , .., ui , .., um (les multiplicateurs de LAGRANGE) tel que ˆ ˆ ˆ ˆ u 0 ˆ (1) m x ∂f (ˆ) x i ∂ai (ˆ) ˆ ∂x = 0 (2) i=1 u ∂x + ui ai (ˆ) = 0 ˆ x ∀i = 1, .., m (3) Preuve. Montrons d’abord, par l’absurde, que toute solution v lemme pr´c´dent satisfait v 0 > 0. e e Si v 0 = 0, v S est solution

´equations (2.1)(2.6) : L= 1 Ωc 2 (π − π0 )2 dx + Ω φπ (−∆π − λ(C)P )dx + Ω φp (∂t P (x, t) − ∇.(P ∇π) − λp (C)P +µp P )dx + Ω φn (∂t N (x, t) − ∇.(N ∇π) − µp P ) + Ω φc (∂t C − ∆C + µc P C + µC). (2.9) Dans (2.9) φπ , φp , φn et φc sont des multiplicateurs de lagrange pour les ´equations d’´etat. En int´egrant par parties et on effectuant une semi-discr´etisation de la d´eriv´ee en temps, on obtient : L= 1 Ωc 2 (π − π0 )2 dx + Ω ∇φπ .∇π 0 − Ω φπ λp (C)P dx + Ω φp P −P dt + Ω P ∇φp .∇π − Ω φp (λp (C)P

minimum locale sur la courbe C au point (a, b) ∈ C. 2.3.2.1 Multiplicateur de Lagrange et le Lagrangien: Considérons f et g deux fonctions de deux variables à valeurs dans R. Nous cherchons à étudier les extremum de la fonction f sous la contrainte g (x, y) = c = cste. Pour cela; on considère une nouvelle fonction L dite Lagrangien donnée par L (x, y, λ) = f (x, y) + λ (g (x, y) − c) . Vocabulaire: Le nombre λ est dit multiplicateur de Lagrange. On détermine les points critique de ce Lagrangien L. On

Trouver l’estimation du maximum de vraisemblance de α sous l’hypothèse « β = 1 ». d. En utilisant les résultats des questions (a) et (c) mettre en œuvre un test du ratio de vraisemblance de l’hypothèse « β = 1 ». e. Mettre en œuvre un test du multiplicateur de Lagrange de l’hypothèse « β = 1 ». Comme il a été suggéré dans le problème précédent, on peut tout d’abord se concentrer sur α. De ∂logL / ∂α = 0, on trouve qu’au maximum, α = 1 / [(1 / n) ∑ in=1 xiβ ]. On examine ensuite les différentes valeurs