Multiplicateur de Lagrange

carré. 1 c. Pour tout x, f (x) = 2 g(x) donc l’égalité est vraie. 68 Remarque : Cet exercice a pour objectif de faire 0 1 travailler les coefficients multiplicateurs associés aux pourcentages. Notons p le prix du service après les 3 augmentations. On a p = 50 ¥ 1,05 ¥ 1,06 ¥ k, où k est le coefficient multiplicateur correspondant à la 3e hausse. 65 4 + ax = 0 ¤ x = – 2 et 4 + ax = 0 ¤ x = – 4 (a a ne peut être égal à 0 car 4 + ax ne s’annulerait pas). Donc a = 2. On

suit est dans R3 . Posons V1 =  b  et V2 =  e . c f   bf − ce Le produit vectoriel de V1 et V2 est : V1 ∧ V2 =  cd − af . ae − bd Propri´t´s ´l´mentaires : voir (42). e e ee Lemme : 2 2 2 2 (a) (V1 · V2 ) + V1 ∧ V2 = V1 . V2 (identit´ de Lagrange). e (b) V1 ∧ V2 = V1 . V2 sin θ (avec θ = angle(V1 ,V2 )). (c) d´t([V1 , V2 , V3 ]) = (V1 ∧ V2 ) · V3 e (formule du produit mixte). (d) U ∧ V = 0 ⇐⇒ U et V li´s. e (e) V1 ∧ V2 ⊥ V ect(V1 , V2 ). (f) V1 et V2 ind´pendants ⇒ (V1 , V2 , V1 ∧ V2 ) e

cadre de l’hypoth`ese des petites perturbations (H.P.P.). En cons´equence, la section S est la section initiale de l’´eprouvette et les diff´erentes mesures de la contrainte (contrainte nominale, contrainte de Cauchy) et de la d´eformation (Green-Lagrange, d´eformations logarithmiques) co¨ıncident. L’essai peut ˆetre pilot´e en contrainte (on impose une valeur `a la force F donc `a la contrainte σ) ou en d´eformation (on applique un d´eplacement aux tˆetes d’´eprouvette de fa¸con `a atteindre une

classe C 1 Ê3 → Ê L: (x, y, λ) → f (x, y) + λg(x, y) La variable λ est appelée multiplicateur de Lagrange. Remarques : – On voit que pour tout couple (x, y) respectant la contrainte, on a L(x, y, λ) = f (x, y), donc maximiser f sur cet ensemble est équivalent à maximiser L. – Dans le cas général, on a à optimiser f: sous p contraintes : gi (x1 , ..., xn ) = 0 ∀i ∈ {1, ..., p}. Il y a alors p multiplicateurs de Lagrange λ1 , ..., λp et le Lagrangien associé est la fonction de (n + p) variables : p

contrainte R=P1x1+P2x2. On sait qu’au point optimal TMS=P1/P2 et que TMS=um1/um2. Si on prend u(x1,x2)=x1x2 alors u’x1=x2 et u’x2=x1 On a donc x2/x1 = P1/P2 d’où x2 = P1x1/P2 donc R=P1x1 + P2P1x1/P2 = 2P1x1 x1*=R/2P1 2-2- Utilisation du multiplicateur de Lagrange L = u(x1,x2) + ((R-P1x1-P2x2) = x1x2 + ((R-P1x1-P2x2) L’x1 = x2 - (P1 = 0 L’x2 = x1 - (P2 = 0 L’( = R - P1x1 - P2x2 = 0 ( = x2/P1 = x1/P1 => x1/x2 = P1/P2 3) Les solutions en "coin" Le choix optimal du consommateur

accessibles, est la solution du problème mathématique Trouver le maximum de la fonction (1) en termes des variables qb et qv , sous réserve que ces dernières satisfassent l’équation (2) La solution peut être calculée par la technique des multiplicateurs de Lagrange. Mais tel n’est pas notre but, ici. L’intérêt de cette formulation mathématique est de montrer la nature logique du concept d’équilibre du consommateur. 30 H I3 20 G F I2 I1 B 10 0 10 20 30 40 50 qv

1979]: la programmation linéaire (par exemple la méthode du simplexe), optimisation non linéaire (gradient conjugué) avec contraintes, le recuit simulé, la méthode tabou, les algorithmes génétiques, les réseaux de neurones. En Cao, les multiplicateurs de Lagrange ont été utilisés ainsi que la méthode BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) [Ge et al. 1999] ou le recuit simulé. Par exemple, quand on a un système linéaire d’équations et/ou d’inéquations, on utilise un algorithme du simplexe ou une

cambriolages, les agressions, les dégradations. Puisque c’est rétrospective sur les deux ans peut y avoir marge d’erreur de la part des victimes qui oublient quelques choses, ou déforme, les femmes battues dénoncent rarement leurs maris. Coefficient multiplicateur : du aux enquêtes. Aux EU au début années 2000 on pense qu’il est à 2. Pour un acte vraiment dans les statistiques on en rajoute donc 1. En Angleterre il est de 3. II) L’évolution de la criminalité depuis 60 ans : 1) l’explosion du nombre

sup´rieure et pere met dans certains cas de r´duire un probl`me d’optimisation en dimension n avec une e e contrainte ` un probl`me en dimension n − 1 sans contrainte. a e Dans des situations plus complexes, on a recours a la m´thode du multiplicateur de ` e Lagrange, bas´e (pour les probl`mes a deux variables) sur le th´or`me suivant, qui e e ` e e s’´tend en dimension sup´rieure et dans le cas de contraintes multiples. e e Cours d’Analyse – 85 – ´ 7.4. EXTREMAS LIES Th´or`me 7.26 : Soit

premier ordre : règle de Lagrange On se place dans le cas régulier. Si d est une direction admissible, alors −d l’est aussi. La condition de minimalité (2.11) s’écrit alors J(xmin ) d = 0, ∀d ∈ K(x) = h ∈ Rn : gi (x) h = 0, ∀i ∈ {1, . . . , m} On a donc J(xmin ) ∈ K(x)⊥ , puisque les vecteurs (gi (x)) pour 1 ≤ i ≤ m sont supposés linéairement indépendants, nécessairement J(xmin ) est un élément du sous-espace vectoriel engendré par les gi (x). Théorème 2.3.2 (Règle de Lagrange). Soient J, g1 , . .