Multiplicateur de Lagrange

Tp S = {x ∈ Rn | x, p = 0} = p⊥ (c’est le supplémentaire orthogonal de p). Donc l’ensemble p + Tp S correspond bien à la notion intuitive d’hyperplan tangent a S en p (faire un dessin !). 2. La méthode des multiplicateurs de Lagrange 97 2. La méthode des multiplicateurs de Lagrange Revenons au problème décrit au début de ce chapitre : nous cherchons les extrema d’une fonction f : U → R (de classe C 1 ), restreinte à un ensemble S ⊂ U . Supposons que p est un extremum de f |S . Si v = γ

criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat 1.47E-14 0.192269 0.069461 0.481699 0.206106 1.975470 Source : Banque Mondiale, nos calculs sous Eviews Les p-values des statistiques de Fisher (F-statistique) et du multiplicateur de Lagrange(Obs*R-squared) sont très supérieurs à 0,05. Nous acceptons donc l h poth se nulle de non auto corrélation des erreurs. Ainsi donc, le nouveau modèle corrigé de la multi colinéarité, et de l auto corrélation des e eu s s it o e suit :

X'E = EP x'U = 1 x Ω E U vecteur n×1 des pondérations matrice n×n des variances et covariances vecteur n×1 des rentabilités attendues vecteur n×1 unitaire U = [1, 1, 1, ..., 1]' La solution est obtenue en appliquant la technique des multiplicateurs de Lagrange. Principaux résultats (pour le détail des calculs, voir plus loin) 1. Composition d'un portefeuille efficient: X = G EP + H G, H : vecteur n×1 H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant une rentabilité

874129 0.370618 0.830848 Test de normalité de Jarque et Bera Jarque-Bera Source : sorties d’Eviews J-B Statistic 0,246 Prob 0,884 Le test de Breusch-Godfrey, fondé sur un test de Fisher de l'unité des coefficients ou de Multiplicateur de Lagrange « LM test » , est calculé pour détecter des éventuelles relations d’autocorrélation des résidus estimés. Il cherche à déterminer une relation significative entre les résidus et les résidus décalés. Le tableau ci-dessus nous donne la statistique

l’équilibre en économie fermée, on détermine d’abord la courbe de demande de biens qui résulte de la maximisation sous contrainte de l’utilité du consommateur. La condition du premier ordre s’écrit : (21) θCjθ - 1 = λpj où λ est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte de budget. En utilisant (19), on en déduit pour chaque bien la courbe de demande : (22) yj  p j = θλ    L −1  θ −1 Pour chaque producteur, l’élasticité perçue de la demande est donc 1 et la maximisation

l’espace d’état est élevée, des techniques ont été développées soit pour réduire la dimension de l’espace d’état, soit pour éliminer du calcul une fraction importante des états a priori possibles. Parmi celles-ci, il y a : La technique des multiplicateurs de Lagrange (relaxation lagrangienne des contraintes), Bellman (1956) et Everett(1963). Les méthodes de séparation évaluation (Branch and Bound ) Algorithme de recherche admissible utilisé pour la recherche de plus court ou de plus long chemin dans

l’isoquant I2 n’est pas possible avec le budget de production .l’isoquant I0 en traîne du gaspillage. L’isoquante I1 qui est tangente à la droite d’isocoût CT est optimale. b- Solution algébrique Q= f (K, L) CT = PK ⋅ K + PL ⋅ L λ : le multiplicateur de Lagrange L lagrangien L = Q + λ (CT - PK K - PL L) Condition de premier ordre : dL=0  ∂L ∂Q (1)  ∂K = ∂K − λPK = 0   ∂L ∂Q − λPL = 0 (2)  =  ∂L ∂L  ∂L  ∂λ = CT − PK K − PL L = 0 (3)  ∂Q ∂K PmK = (1) ⇒ λ = (4) PK PK

des hypothèses Rϕ = r. Test du multiplicateur de Lagrange Pour tester une hypothèse au moyen d’un test du multiplicateur de Lagrange (test LM, Lagrange Multiplier), il suffit d’estimer le modèle contraint, c’est-à-dire sous l’hypothèse H0 . Le principe du test est le suivant : si H0 est vraie et qu’on maximise la vraisemblance en imposant H0 , les contraintes représentées par cette hypothèse induisent une faible perte de vraisemblance : les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes imposées

que nous avons faite. La conclusion de ce raisonnement est donc que tant que l’égalité ci-dessus n’est pas satisfaite, le consommateur peut toujours augmenter son utilité simplement en modi…ant la composition du panier de biens demandé. Le multiplicateur de Lagrange, , représente ici “l’utilité marginale”du revenu, soit encore l’augmentation de l’utilité du consommateur19 si son revenu augmentait d’une unité. Pour voir cela, considérons le revenu du consommateur comme une variable, i.e., R pe et di¤érentions

rendements d’échelle sont croissants. Des fonctions de production homogène et les rendements d’échelle. Une fonction à deux variables est homogène de degré k lorsqu’elle vérifie la relation suivante : f (λk,λL) = λf(k,L) lambda (coefficient multiplicateur) k le degré d’homogénéité. Les rendements d’échelle sont définis par ce degré d’homogénéité. Ainsi si k = 1 on a donc chaque facteur multiplié par lambda, la production est elle-même multiplié par lambda. Si f (λk,λL) = λf (k,l) k= 1 Si f