Modèle vectoriel

d'entreprise. * Les logiciels de dessin vectoriel : Permet le traitement d’image vectorielle. Une image vectorielle est une image numérique composée d'objets géométriques individuels (segments de droite, polygones, arcs de cercle, etc.) définis chacun par divers attributs de forme, de position, de couleur, etc. Elle se différencie de cette manière des images matricielles (ou « bitmap »), dans lesquelles on travaille sur des pixels. Un dessin vectoriel permet une résolution d'image quasiment infinie

Centrale PSI 2 un corrig´ e Remarque pr´liminaire. e Mp (K) est un espace de dimension finie o` toutes les normes sont ´quivalentes. Si (An ) est une suite u e d’´l´ments de Mp (K), on n’a as besoin de pr´ciser la norme quand on parle de convergence de (An ). ee e En particulier, si on choisit la “norme infinie relative ` la base canonique”, la convergence ´quivaut ` a e a la convergence coordonn´e par coordonn´e. e e 1 Question pr´liminaire. e z a b A. Soit z = 1 + n ; on a |z |2 = 1 + n +

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juin 2013 Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E

pixel. Pour représenter informatiquement une image, il suffit donc de créer un tableau de pixel donc chaque case contient une valeur. 1. Les types d’image Il existe en général deux types d’image : l’image bitmap et l’image vectorielle. a) L’image bitmap Ce sont des images pixellisées c'est-à-dire constituée de milliers de petits carrés colorés. Tout agrandissement ou transformation de l’image dégrade la qualité de celle-ci avec une ampleur proportionnelle

Ces résultats permettent d'énoncer la proposition suivante : PROPOSITION : Soit a réel ou complexe. Alors : i) les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme y = λe–ax, où λ est un scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction e–ax. ii) Si l'on fixe une condition y(x0) = y0, alors cette solution est unique. iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle. b) Caractérisation de l'exponentielle : a étant

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel 1 Définition et représentation de Rn Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn

16 - Un sous-espace vectoriel de matrices - L1/Math Sup Soit E le sous ensemble de M3 (R) d´fini par e a 0 c   E = M (a, b, c) =  0 b 0  : a, b, c ∈ R . c 0 a Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).   Exercice 17 - Matrices sym´triques et anti-sym´triques - Math. Sup e e Montrer que l’ensemble des matrices sym´triques (A = tA) et l’ensemble des matrices e tA) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´mentaires de M

lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Espaces vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 et dim Ker ∆n = dim E0 = 1. Donc : rg ∆n = dim Im ∆n = n = k=1 ak i=0 = an n xn−1 + an n−1 n−2 i=0 n i x + i n−1 k−1 ak k=1 i=0 k i x i D’apr`s la question 1.a.i, Im ∆n ⊂ En−1 . Comme ces deux espaces vectoriels e sont de mˆme dimension, on en d´duit qu’ils sont ´gaux. En conclusion : e e e Im ∆n = En−1 =nan =0 deg n−2 2. (a) i. Soit k 1. Alors : ∀x ∈ R ∆ (Nk ) (x) Nk (x + 1) − Nk (x) (x + 1) x (x − 1) · · · (x − k + 2) x (x − 1) · · · (x