Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008

Algèbre linéaire
Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel

1 Définition et représentation de Rn
Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn ). On dit que les n-uplets réel (x1 , x2 , . . . , xn ) et (y1 , y2 , . . . , yn ) sont égaux si on a toute les égalités x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn . Si n m, un n-uplet réel n’est jamais égal à un m-uplet réel.

Exemple 1– Souvenir des cours de lycée. Ce que vous avez appelé un « vecteur du plan » est caractérisé par ce que vous avez appelé ses « coordonnées ». Autrement dit, deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Le vocabulaire est compatible : un vecteur du plan est un élément de R2 . On justifiera le nom de vecteur par la suite. De même, un « vecteur de l’espace » est un élément de R3 .

2 Opérations dans Rn
Si u = (x1 , . . . , xn ) et v = (y1 , . . . , yn ) sont deux éléments de Rn , on appelle somme de u et v le n-uplet réel noté u + v défini par u + v = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Si n m, on ne sait pas additionner un n-uplet avec un m-uplet.

Exemple 2– Là encore, ce vocabulaire est compatible avec celui du lycée. Additionner deux vecteurs du plan ou de l’espace, c’est additionner leurs coordonnées.
1 On dit aussi couple si n = 2, triplet si n = 3, quadruplet si n = 4, quintuplet si n = 5.

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Exemple 3– Dans R2 , on a (1, 2) + (7, 12) = (8, 14). Dans R5 , on a (1, 2, 3, 4, 5) + (−1, −2, −3, −4, −5) = (0, 0, 0, 0, 0). Si λ est un réel et u = (x1 , . . . , xn ) un n-uplet réel on appelle produit externe de λ par u le n-uplet réel noté λu et défini par λu = (λx1 , . . . , λxn ). Exemple 4– Ce