Matrice diagonalisable

c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

Montrer que, si f désigne un endomorphisme de ℝ 3 diagonalisable, alors l’endomorphisme f est aussi diagonalisable (on rappelle que f 2 = f 2 f ). On se propose dans la suite de montrer que la réciproque de cette assertion est fausse. Pour ce faire, on considère l’endomorphisme g de ℝ 3 dont la matrice dans la base canonique de ℝ 3 est :  0 2 −1   A =  2 −5 4   3 −8 6    On note I la matrice identité de M 3( ℝ ). 2) a) Déterminer la matrice A 2 puis établir que A 4 = I . En déduire les

que c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

y . y∈A On note a = P (x) ce qui définit une application P : Rn → A appelée projection sur le convexe A. Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 16 X MP [ 03037 ] [correction] Caractériser dans Mn (C) les matrices dont la classe de similitude est fermée. Même question avec R au lieu de C 2 d) Montrer que s’il existe a ∈ A tel que (x − a | y − a) 0 pour tout y ∈ A, on a a = P (x). e) On suppose qu’il existe un y ∈ A tel que (x − P (x) | y − P (x)) > 0

vectoriel des polynômes à coefficients dans K (K = R ou K = C) de degré inférieur ou égal à n. Soit f l’endomorphisme de E défini par : ∀ P ∈ E, f (P ) = P − P . 1. Démontrer que f est bijectif de deux manières : (a) sans utiliser de matrice de f , (b) en utilisant une matrice de f . 2. Soit Q ∈ E. Trouver P tel que f (P ) = Q . Indication : si P ∈ E, quel est le polynôme P (n+1) ? Corrigé exercice 59 1. (a) L’application f est clairement linéaire. (*) De plus, ∀ P ∈ E\ {0}, deg P < deg P donc deg(P −

Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Matrices Définitions Soit K un sous-corps de C. Une matrice à coefficients dans K est notée : A = (aij ) 1≤i≤p où p représente le nombre 1≤j≤q de lignes et q le nombre de colonnes. On écrit A ∈ Mpq (K). Soient A et B deux matrices de Mnp (K). On définit la matrice C = A + B où C = (cij ) avec cij = aij + bij , la matrice A = λA où A = (aij ) q avec aij = λaij . Si A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K), on définit la matrice P = AB par pij = k=1 aik bkj et P ∈ Mnq (K)

mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P (x) ou Q (x)}

M est inversible. Dans ce cas, M −1 est la matrice de u−1 dans B . soit injective donc il suffit que Ker u = {0}. (3.19) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u soit surjective donc que rg (u) = dim E . (4.9) La matrice dans la base B de la famille F de p vecteurs de E est la matrice P dont la premi`re e colonne est constitu´e de la matrice colonne dans B du premier vecteur de F etc. e Matrices (4.10) Dans le contexte (4.9), lorsque dim

supplémentaire orthogonal, dimF ⊥ = dimE − dimF , (F ⊥ )⊥ = F 2.3 Adjoint d'un endomorphisme 2.3.1 Existence et unicité Soit u ∈ EndE ; il existe un unique endomorphisme u∗ tel que ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), u∗ est l'adjoint de u ; matrice dans une bon 2.3.2 Propriétés L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) = tr(u), det(u∗ ) = det(u), rg(u∗ ) = rg(u), (u∗ )−1 = (u−1 )∗ Si F est stable par u, F ⊥ est stable par u∗ 3 2.4 Automorphismes

inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´ e e 97 25 D´veloppements limit´s e e 99 26 Int´grales : compl´ments