Matrice diagonalisable

matricielle : �� � �� � � x � x˙ 1 m1 0 −c2 k1 + k2 � ¨1 + c1 + c2 � + 0 m2 � x ¨2 −c2 c2 + c3 � x˙ 2 −k2 soit : M¨ q + Cq˙ + Kq = f (t) matrice de masse symétrique définie positive matrice d’amortissement ? � �� � x1 � f1 (t) −k2 � � = � f2 (t) k2 + k3 � x2 � � x1 (0) + 2 CI : q0 = �� x (0) 2 � � x˙ 1 (0) q˙ 0 = �� x˙ 2 (0) vecteur d’excitation matrice de raideur symétrique semi-définie positive � � x1 q(t) = �� x2 1) Equations de mouvement Généralisation : système à N d.d.l. N équations

n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) = P(X n+2 = k | X n+1 = j ) P(X n+1 = j | X n = i ) = P(X 2 = k, X 1 = j | X 0 = i ). () Exemples : vérifier dans chacun des exemples suivants que X n est une chaîne de Markov homogène et préciser sa matrice de transition. ) Promenades aléatoires : soit (Yn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans Z (ou Zd ), soit X 0 une variable aléatoire à valeurs dans Z (ou Zd ), indépendante des (Yn ), on pose X n = X 0

. . . . . . . . . . . . . 34 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 12. Alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1 Matrices - Syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.2 D´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On rappelleque I'application, notée/r, qui à toute matricede tl+(IR) associesa trace (c'est-à-direla sommede sesélémentsdiagonaux)est

Premi`eres op´erations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Extraction de sous matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.4 Op´eration ´el´ement par ´el´ement (ou vectorisation). . . . . . 19 1.5.5 Fonctions compl´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.6 Moindres carr´es et projections orthogonales. . . . . . . . . 22 1.5.7 Valeurs propres et exponentielle de Matrice. . . . . . . . . 24 1.6 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dm est une application linéaire de  3 dans  3 , on va donc utiliser sa matrice représentative dans 3 3 notée I A S . p x    Soit u= q et AP= y . r z   AP P S    u AP dm P S x y z qz-ry rx-pz dm py-qx p y 2 +z 2 -qxy-rxz -pxy+q x 2 +y 2 -ryz dm P S -pxz-qyz+r x 2 +y 2 y 2 +z 2 dm - xydm - xzdm - xydm x 2 +y 2 dm - yzdm - xzdm - yzdm x 2 +y 2 dm    A, x, y,z On appelle matrice (ou opérateur d’inertie) du solide S au point A exprimée dans la base y

peuvent ˆtre faits et l’on obtient e e e e ∂f (x, y) = 6(x2 + y) ∂x ∂f (x, y) = 6(x − y) . ∂y Il en d´coule que les deux points stationnaires sont (0, 0) et (−1, −1). e La deuxi`me ´tape dans la d´termination des extrema locaux fait intervenir la matrice hessienne, e e e en d’autres termes les d´riv´es secondes. La m´thode, quoique majoritairement appliqu´e dans R2 e e e e p avec p ∈ N∗ . Vous l’avez d´j` maitris´e dans le cas des dans ce cours, est valable pour tout R ea e fonctions ` une seule variable

linéaire homogène est un espace vectoriel de dimension p. Toute solution de (S) est la somme de la solution générale de (S ) et d'une solution particulière de (S). 66 Systèmes différentiels linéaires 1.3 Cas où A est diagonalisable 21 Soit A diagonalisable ; notons λ1 ,. . . ,λ p ses valeurs propres et V1 ,. . . ,Vp une base de R p de vecteurs propres associés. L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S ) admet pour base : V1 eλ1 t ,. . . ,Vp eλp t . 2. 2.1 Résolution

(X). 0 1 .  . ... . . et ∀k ∈ [[1, n]], u(Pk ) = Pk−1 , donc A =  . . . . . 0 ···  U (P0 ) = 0E 0 .. . .. . ··· ··· .. . .. . .. . ···  0 . . .  0 .   1 0 0 1 .  . ... . . La matrice A de l’endomorphisme u dans la base (P0 , P1 , . . . , Pn ) est :  . . . . . 0 ···  0 .. . .. . ··· ··· .. . .. . .. . ···  0 . . .  0 .   1 0 (c) Notons (E1 , E2 , . . . , En+1 ) la base canonique

linéaire homogène est un espace vectoriel de dimension p. Toute solution de (S) est la somme de la solution générale de (S ) et d'une solution particulière de (S). 66 Systèmes différentiels linéaires 1.3 Cas où A est diagonalisable 21 Soit A diagonalisable ; notons λ1 ,. . . ,λ p ses valeurs propres et V1 ,. . . ,Vp une base de R p de vecteurs propres associés. L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S ) admet pour base : V1 eλ1 t ,. . . ,Vp eλp t . 2. 2.1 Résolution