Matrice diagonalisable

+ 1)n). Application à des inégalités spectrales : Théorème : Soient A et B deux matrices symétriques réelles d’ordre n. Soient a1  a2 …  an et b1  b2  …  bn leurs spectres respectifs rangés dans l’ordre croissant. min =  tr(A.B)  max = . Si (i, j) ai + bj > 0, alors min =  det(A + B)  max = . Preuve : Lorsque A et B commutent, elles sont simultanément diagonalisables, donc tr(A.B) = et det(A + B) = pour une permutation . On conclut aussitôt

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1

solutions s’écrivent « facilement », donc on tourne un peu en rond sur le même problème très longtemps. Obligation de manipuler des objets « mathématiques » pour représenter des phénomènes physiques. Revoyez au maximum l’algèbre linéaire (vecteurs, matrices, diagonalisation), les séries (vite fait, mais il est recommandé de très bien connaître les séries de Fourier), les équas diffs, etc. Je ne peux pas le faire à votre place ! Le cours de Maths I peut aider, bien sûr, mais il est indispensable de ne

. . . . . . . . . . . . . . . 9 Matrices réelles 9.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Matrices rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Addition des matrices . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Multiplication, à gauche, d’une matrice par un réel 9.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Transposée

e e e a m´thode de relaxation qui rep´sente une g´n´ralisation de la e e e e m´thode de Gauss-Seidel. e 1.1 M´thodes it´ratives: Approche g´n´rale e e e e (1) Les principales m´thodes it´ratives sont bas´es sur une d´composition e e e e de la matrice A du syst`me sous la forme e A=M −N (2) avec M inversible et d’inverse assez facile ` calculer. Le a syst`me (1) s´crit alors e e Mx = Nx + b ou encore x = M −1 N x + M −1 b (4) (3) 2 qui est ` l’origine du sch`ma it´ratif suivant a e e

. . . . . . . . . . . . . 3.7.3.1 Les valeurs propres λi de A sont distinctes . . . . . . 3.7.3.2 Les valeurs propres λi de A sont multiples . . . . . . 4 R´ ponse d’un mod` le d’´ tat e e e 4.1 Solution du syst` me autonome . . . . . . e 4.1.1 Matrice de transition d’´ tat . . . . e 4.1.2 Solution de l’´ quation homog` ne e e 4.2 Solution de l’´ quation d’´ tat compl` te . . e e e 4.3 Calcul de eAt . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 M´ thode des s´ ries . . . . . . . . e e 4.3.2 Par la transformation

Expression de an en fonction de n par une méthode matricielle. On dé…nit les matrices A et P par : A= r1 + r2 1 r1 r2 0 ; P = r1 r2 1 1 ainsi que les matrices unicolonnes Xn par : Pour tout entier naturel n : Xn = an+1 an an+2 an+1 1. On a pour tout entier n :Xn+1 = et comme r1 + r2 = q et q an+1 + p q an an+1 = = q pq 1 0 an+1 an r1 r2 = p q on a bien alors Xn+1 = A Xn r2 1 la matrice est non r1 A r2 I = 1 la matrice est non 2. A r1 I = r1 r2 et comme la seconde colonne est r1 inversible

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

parties on obtient donc e e e t1 t0 0 L 2 2 − ρ0 ∂tt w + d2 f (∂x w) · ∂xx w · v dx dt 2 (o` par un l´ger abus de notation on a identifi´ la forme lin´aire d2 f (∂x w) · ∂xx w ` u e e e a 2 un vecteur; on peut aussi d´finir d f (∂x w) comme la matrice Hessienne de f en ∂x w, e auquel cas il n’y a pas d’abus de notation). Ceci ´tant vrai quel que soit v (tel que e ´ v(0, t) = v(L, t) = v(x, t0 ) = v(x, t1 ) = 0), on en d´duit l’EDP non-lin´aire du second e e ordre, dite ´quation des ondes non lin´aire