Matrice diagonalisable

l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1 pour la matrice M :  3

diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M)) = n. Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable. 1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute

einθn Remarquons que n rn = 1+ 2a + O(1/n2 ) n n/2 = exp n 2a ln 1 + + O(1/n2 ) 2 n = exp (a + O(1/n)) → exp(a) n→+∞ nθn On en d´duit que e n→+∞ n→+∞ ∼ bn → b a + n n→+∞ n lim 1+ z n = ea eib = ez 2 Matrices antisym´triques r´elles d’ordre 2 ou 3. e e 2 A.1 On pose βn = 1 + α2 . βn est ´l´ment de R+∗ . De plus β1 I2 + A a ses deux colonnes norm´es ee e n n n et orthogonales et est donc dans O2 (R). Comme son d´terminant vaut 1, c’est mˆme un ´l´ment

par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) = 0 pour tout i = 1, 2, ..., n. ∂xi

l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2 L3 2 1 X 1 X Comme astuce,c’est obtenir deux 0 dans

n´gatives. Soit λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df (0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours not´ ) et un r´el σ > 0 tel que e e λ pour tout x tel que x σ. c) En d´duire que 0 est stable

) = 0E e a pour k ∈ [[1, n − 2]] et g(ek ) ∈ Im g = Vect en−1 , en pour tout k et, notamment pour k ∈ {n − 1, n}. O O Donc Mat(g, B) = avec B ∈ M2 (R). De plus, O B 2 = rg(g) = rg (Mat(g, B)) = rg donc B est inversible. Donc B est semblable ` une matrice de la forme a O O O B avec B ∈ GL2 (R) . O B = rg ( O t B ) = rg( tB ) = rg(B ) e) On a directement Tr(B) = 0, Tr(B 2 ) = 2. Soient λ et µ, les valeurs propres dans C de B (pas forc´ment distinctes). B est trigonalisable dans e λ c λ2 c(λ

Repr´sentation matricielle e 20 3.1 Caract´risation d’une application lin´aire par l’image d’une base 20 e e 3.2 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e 3.2.1 Liens avec le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . .

endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π   Exercice 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 avec valeurs