Matrice diagonalisable

S(t)A(0)S(t)−1. Montrer qu'il existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t), ∀ t ∈ R. 2. Soit B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 2. [ENS] ('18) Soient n > 1 un entier naturel, B ∈ Rn et A une matrice carrée réelle symétrique. On suppose que pour tout V ∈ Rn, tV AV > 0. On note S = {U ∈ Rn ; AU = B} et on suppose S 6= ∅. Soit X ′(t) = −AX(t) +B (1) On appelle solution de (1) toute fonctionX ∈ C 1([0,+∞[) qui véri�e (1). On note ‖·‖ la norme

du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le groupe des e a e matrices inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments

2. A = ( 1 0 1 −1 ) , B = −1 1 0 0 1 −2  3. A =  1 2 1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 5 0 0 0 2 −2 −1 0 0 0 1 −3 4 , B =  −1 −1 0 0 2 1 0 0 3 5 0 0 0 0 2 −4 0 0 5 −2 0 0 1 1  Indication. Noter que A et B sont des matrices diagonales par bloc. � Exercice 2. Représentation d’une application linéaire. Donner la représentation matricielle des applications linéaires sui- vantes dans les bases canoniques des espaces en jeu. 1. f : { R3 → R3 (x, y, z) 7→ (x +2y +3z,2y −

vectoriel. Montrer que n est pair et qu'il existe une base (e1; : : :; en) ; (n = 2p) du R-espace vectoriel E tel que : 8j 2 Np ; u(ej ) = ej +p . Determiner la dimension de E sur C . 0 ?1 0 1 1 0 ?1 1 0 1 11. Soient A = @ 1 ?1 0 A et B = @ 0 ?1 1 A deux matrice reelles. 0 1 ?1 1 0 ?1 Soit V = Vect(A; B ). Montrer que V est un corps isomorphe a C . 12. Soit P 2 K n X ]; deg P = n. Soient a0; : : :; an n + 1 scalaires deux a deux distincts. Montrer que la famille : (P (X + ai)i2Nn est une base de K n X ].

· · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E 2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn ) I.4 Déterminant d'une matrice

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø Ô ¾ Æ Ø Ð ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Å ¾ ¸ ÅÔ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ×Ø Ò º   Á Á È , cela  ½ . Donc À½ À¾ º ÜÝ Ü ¾ À½ Ý ¾ À¾ Ò× ØØ ÕÙ ×Ø ÓÒ¸ ÓÒ ÓÒ× Ø ÓÒ × Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× ´ µ º ÇÒ ÔÓ× ÙÜ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ × § ALGº¾½ (Matrices idempotentes) º žŠ´ µ Ô¾Æ ÇÒ ÔÓ× Ò ½µ ÜÑ µ et consi- ÆË ÔÓÙÖ ÕÙ À½ À¾ ×Ó Ø ÙÒ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ ÓÒÒ Ö ÙÒ ¦ Ð ¿¼℄ Ø À½ ¸ À¾ ÖÓÙÔ Æ ´ µ ËÓ Ø ÙÒ ÖÓÙÔ Ò ³ÓÖ Ö Ò¸ Ø Ñ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ò Ò Ö ÒØ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ö ¾Ò º ËÓ Ø ØÓÙØ Ñ ØÖ

mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P (x) ou Q (x)}

Controle d’Algèbre II - 19 Mai 2014 S4/2013-2014 A rendre la copie par e-mail: ab1kacimi@gmail.com Exercice 1. Soit A la matrice du sytème linéraire d’odre 3:  = 0   2x − y + z x − 2y − z = −1 (S1 )   2x + y + 2z = 1 1.2 - Calculer det A et jusitifier que (S1 ) admet une solution unique. 1.3 - Résoudre (S1 ): a. Par la méthode du pivot de Gauss. b. En utilisant la méthode de Cramer. Exercice 2. Soient a, b, c ∈ R et considérons x, y, z:  x + 3y − z   3x − y + z (S2 )   −2x + y − 3z 2

Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer que Im tr = IR. b) En déduire la dimension de Ker tr. c) Établir que Mn(IR) = Ker tr ⊕ Vect(I). 2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser

1 −1  , D =  −1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1  , I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1  1. (a) on vérifie que PQ = I3 (b) PQ = I3 ⇒ A est inversible et P−1 = Q (c) on vérifei que AP = PD (d) AP = PD ⇒ A = PDP−1 , A est semblable à une matrice diagoanle , donc A est diagonalisable . 2. u = 1 0 0  , v = 1 1 1  , w = 1 1 0  On vérifie que Au = −1 2 u, Av = 1 2 v, Aw = w donc u, v et w sont des vecteurs propres de A associés respectivement à −1 2 , 1 2 et 1 3. (a) Par récurrence pourt out n ∈