Matrice diagonalisable

∈ Mn (K) . Comme L (E) est de dimension n2 , on a dim (K [u]) ≤ n2 . On dénit de manière analogue la sous algèbre K [A] de Mn (K) engendrée par une matrice 435 436 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On vérie facilement que si A ∈ Mn (K) est la matrice de u ∈ L (E) dans une base B, alors P (A) est la matrice de P (u) dans B. de P (u) . Dans le cas où K est algébriquement clos, on a : Théorème 17.1 Soit P ∈ K [X] . Pour toute valeur propre λ ∈ Sp (u)

structure euclidienne canonique. Soit A et B les deux matrices de nies par : 01 1 1 11 0 1 0 ;1 0 1 A = B 1 1 1 1 C et B = B ;1 0 0 ;1 C @1 1 1 1A @0 1 1 0A 1 1 1 1 0 ;1 0 1 1. Calculer A2 et B 2 . En deduire les valeurs propres de A et de B . 44 ESCP 99 - Oral 2. Determiner les sous-espaces propres des endomorphismes a et b canoniquement associes a A et B . 3. Montrer qu'il existe une base orthonormee de R4 , dans laquelle les matrices associees a a et b sont toutes deux diagonales. 1. Un

Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées de type nn à coefficients dans K I. Matrice diagonale, valeur

22 Existence et valeur de l’int´grale e 0 +∞ cos(nt) dt 1 + t2 TPE 23 Existence et calcul de π 2 0 1 dt 1 + tan2006 t 23 TPE 24 D´terminer l’adh´rence, l’int´rieur et la fronti`re du groupe sp´cial lin´aire SLn (R) ( ens des matrices de e e e e e e d´terminant 1). e TPE 25 π Ix = 0 ln(1 − 2x cos θ + x2 ) d θ e e a. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles Ix est d´finie. b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann. c. Calculer I1 TPE 26 E = {f ∈ C 1 ([0

vectoriel des matrices r´ elles a e ` lignes et colonne. lignes et le -espace vectoriel des matrices carr´ es r´ elles a e e ` l’ensemble des matrices inversibles de . la matrice transpos´ e d’une matrice e . . la matrice unit´ de e l’ensemble des matrices sym´ triques de e . , c’est-` -dire l’ensemble des a l’ensemble des matrices sym´ triques positives de e matrices de v´ rifiant : e l’ensemble des matrices sym´ triques d´ finies positives de e e semble des matrices de v´

s´ries (sauf le calcul des sommes, on pourra cependant utiliser les d´veloppements usuels des fonctions e e classiques). 2. R´visions sur les calculs de d´veloppements limit´s ou asymptotiques. e e e 3. R´visions sur les espaces vectoriels (sauf, matrices et d´terminants). e e 4. Constructions de bases adapt´es a un probl`me. e ` e 9.4.2 Les exercices +∞ k=n+1 Exercice 9.4.83 Soit f une fonction convexe sur [0, +∞[, qui tend vers 0 en +∞, montrer que : (−1)k f (k) ≤ f (n) . 2 an converge

vectoriel E . Cet exercice est composé de quatre parties indépendantes. Les trois premières sont consacrées à l’étude de différents exemples. Dans la dernière partie, on détermine une condition nécessaire et suffi- sante pour qu’un endomorphisme diagonalisable soit cyclique. Partie I - Étude d’un premier exemple Dans cette partie, on considère l’endomorphisme f : R2 → R2 défini par : ∀(x, y) ∈ R2, f (x, y) = (4x − 2y, x + y) . Q1. En considérant v = (1, 0) ∈ R2 , montrer que f est un endomorphisme cyclique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 REDUCTION DE JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Surdiagonale de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrice élémentaire de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Composition de la surdiagonale base associée à une réduite de Jordan 1.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des trois vecteurs propres ⎜ − 5 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ est : 3 2⎤ ⎡6 ⎡1 0 0⎤ ⎢− 5 − 4 − 3⎥ et Ρ −1 AΡ = ⎢0 2 0⎥ Ρ=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎢0 0 3 ⎥ 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b) • La famille (e1, b(e1)=e2, b2(e1)=e3) est une base de E et b est cyclique. • Le polynôme caractéristiques de B est : -(x-1)(x+1)2 • ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ Ker (B+I3)=Vect ⎜ 0 ⎟ , sa dimension vaut 1 alors que l’ordre de multiplicité de la valeur propre –1 est 2. ⎜1⎟ ⎝ ⎠ La matrice B n’est pas diagonalisable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .