Matrice diagonalisable

Système de n équations ................. 3 Modèle Valeur absolue ............................... 3 Modèle dd°mm’ss.ss’’ ................................... 3 Modèle Matrice (2 x 2) ................................ 3 Modèle Matrice (1 x 2) ................................ 3 Modèle Matrice (2 x 1) ................................ 4 Modèle Matrice (m x n) ............................... 4 Modèle Somme (G) ....................................... 4 Modèle Produit (Π) ...................................... 4

anneaux Z, Q. Divisibilité. PPMC et PGCD. nombres premiers dans Z, étude de l’anneau Z/mZ. Algèbre linéaire et calcul matriciel - Espaces vectoriels. Famille libres famille génératrices, notion de base. Applications linéaires et matrices, Calcul matriciel et Rang d’une matrice. Changement de bases. - Calcul des déterminants. Résolution des systèmes d’équations linéaires. Polynôme caractéristique, diagonalisation. Module 2: Mathématique II Elément Contenu Fonctions d’une variable réelle et étude des

2x+y+z=0 x+3y+az=0 Exercice 2 (5 points) Soit la matrice carrée d'ordre 3 suivante: A = (~ ~ ~ J 1) A est-elle inversible? Si oui, calculer son inverse. 2) En déduire le rang de A. 3) Soitfl'application linéaire associée à A dans les bases canoniques de IR'. Donner l'image d'un vecteur X quelconque parf 3) Est-elle bijective? Exercice 3 (6 points) Soit g l'application linéaire définie par: g(x, y, z) = (x + y, x - y - z). a) Donner la matrice B représentant g dans les bases canoniques de départ

d´veloppe de nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, vae e e o leurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des endomore phismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre quelques e e compl´ments d’alg`bre g´n´rale (arithm´tique, polynˆmes). e e e e e o 1.2.4 Secteur de la g´om´trie et de ses interventions e e Une vision g´om´trique des probl`mes impr´gne l’ensemble du programme de

Processus Stochastique Probabilité et matrices de transition Soit {X (t), t ≥ 0} une chaîne de Markov à temps continu homogène. La probabilité de transition de i à j au temps t est pij (t) = P[Xt = j|X0 = i]. La matrice de transition au temps t est P(t) = (pij (t))i,j . Par convention on pose P(0) = I . Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat Processus Stochastique Propriétés des matrices de transition Soit {P(t), t ≥ 0} la famille de matrices décrivant les lois d’évolution d’une chaîne

()L1, on obtient la matrice [pic] ((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour dimension 1. 4. La somme des dimensions des sous-espaces propres de f n'est pas égale à 3, donc f n'est pas diagonalisable. 5. u1 = (1, 1,

désignent respectivement les dérivées première et seconde de P. 1) Montrer que f est un endomorphisme de E. 2) Écrire la matrice A de f relativement à la base (e0, e1, e2). 3) a) Établir que f est un automorphisme de E. En déduire Ker f. b) Écrire la matrice de f –1 relativement à la base (e0, e1, e2). 4) a) Déterminer la seule valeur propre  de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? b) Préciser le sous-espace propre associé à la valeur propre . Partie 2 On note F l’espace vectoriel des fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

noyau . . . . . . . . . . . 8 12.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . 8 12.5. Théorème du rang . . . . . . . . . 12.6. Système linéaire . . . . . . . . . . . 8 9 9 13. Matrices 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Généralités sur les matrices carrées 9 13.3. Matrice d’une application linéaire . 9 13.4. Matrice de Passage . . . . . . . . . 9 13.5. Changements de base . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe