SESSION 2023 PC1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
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MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il …afficher plus de contenu…

Montrer que l’on a la relation g2 = g + 2 IdR3 .
Q5. Montrer que la matrice M est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
Q6. L’endomorphisme g est-il cyclique?
2/8EXERCICE 1
Endomorphisme cyclique
Présentation générale
Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d’endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ N∗, on note : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f ◦ f , f p = f ◦ · · · ◦ f���������������� p fois
.
On dit que l’endomorphisme f est cyclique s’il existe un vecteur v ∈ E tel que la famille
(
v, f (v), . . . , f n−1(v)
)
soit une base de l’espace vectoriel E .
Cet exercice est composé de quatre parties indépendantes. Les trois premières sont consacrées …afficher plus de contenu…

Partie I - Étude d’un premier exemple
Dans cette partie, on considère l’endomorphisme f : R2 → R2 défini par :
∀(x, y) ∈ R2, f (x, y) = (4x − 2y, x + y) .
Q1. En considérant v = (1, 0) ∈ R2 , montrer que f est un endomorphisme cyclique de R2 .
Q2. Déterminer les valeurs propres de f et donner une base de chaque sous-espace propre de f .
Q3. Existe-t-il un vecteur w ∈ R2 non nul tel que la famille (w, f (w)) ne soit pas une base de R2 ?
Partie II - Étude d’un deuxième exemple
Dans cette partie, on considère l’endomorphisme g : R3 → R3 dont la matrice dans la base canonique est :
M =

0 −1 1
−1 0 −1
1 −1 0
 ∈ M3(R) .
Q4. Montrer que l’on a la relation g2 = g + 2 IdR3