Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clart´ , a la pr´ cision et a la ` e ` e ` concision de la r´ daction. e Si un candidat est amen´ a rep´ rer ce qui peut lui sembler etre une erreur d’´ nonc´ , il le e ` e ˆ e e signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a et´ amen´ a prendre. ´e e` **** Notations et objectifs Soit un entier sup´ rieur ou egal a . On note : e ´ ` le -espace vectoriel des matrices r´ elles a e ` lignes et colonne. lignes et

le

-espace vectoriel des matrices carr´ es r´ elles a e e `

l’ensemble des matrices inversibles de

.

la matrice transpos´ e d’une matrice e .

.

la matrice unit´ de e

l’ensemble des matrices sym´ triques de e

. , c’est-` -dire l’ensemble des a

l’ensemble des matrices sym´ triques positives de e matrices de v´ rifiant : e

l’ensemble des matrices sym´ triques d´ finies positives de e e semble des matrices de v´ rifiant : e

Le but du probl` me est d’introduire et d’´ tudier la notion de racine carr´ e d’une matrice de e e e : si est une matrice de , on dit que est une racine carr´ e de si e .

1 4 3 2 1

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colonnes.

, c’est-` -dire l’ena

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La premi` re partie propose de montrer qu’une matrice donn´ e peut admettre une infinit´ de e e e racines carr´ es ou n’en n’avoir aucune. La seconde partie montre l’existence et l’unicit´ d’une e e racine carr´ e sym´ trique positive de lorsque est sym´ trique positive et introduit la notion de e e e valeur absolue d’une matrice sym´ trique r´ elle. Enfin la derni` re partie est consacr´ e a l’´ tude d’un e e e e ` e